1.10: Класифікація кутів

Малюнок \(\PageIndex<1>\) Марк хоче пофарбувати двері своєї спальні. Форми на дверях нагадують йому геометрію. Він вирішує використовувати лінійку для вимірювання фактичних довжин сторін і транспортиром для вимірювання кутів. Він помічає один і той же кут повторюється знову і знову. Який тип кута утворюється кутом дверей? У цьому понятті ви дізнаєтеся, як класифікувати кути.

Класифікація кутів

Кут – це простір, створений між двома лініями, відрізками ліній або променями, з’єднаними в загальній точці. Кути можна представити за допомогою символу. Ось символ для кута. \(\angle A\) Це означає «Кут А». Кути вимірюються в градусах . Градуси вимірюють відстань між двома лініями. Символ o означає «градуси». Кількість градусів говорить про те, наскільки відкритий або закритий кут. Чим менше число градусів, тим менше або більше закритий кут. Кути класифікуються за своїми розмірами. Розміри кутів можуть \(0^\) варіюватися від до \(360^\) , повного кола. Ось діаграма, яка показує деякі вимірювання кута. Малюнок \(\PageIndex\) Як бачите, кут \(360^\) робить повне коло. Кут \(270^\) дорівнює три чверті кола, а кут \(180^\) дорівнює половині кола. \(180^\) Кут – це пряма лінія. Кути, що \(180^\) вимірюються між 0o і класифікуються як гострі, праві, тупі або прямі. Гострий кут вимірює менше \(90^\) . Тупий кут має міру більше \(90^\) і менше \(180^\) . Ось кілька прикладів. Малюнок \(\PageIndex\) Більшість кутів в \(180^\) діапазоні \(0^\) і є гострими або тупими. Однак є два спеціальних кута з точними вимірами. Прямий кут вимірює точно \(90^\) . Прямі кути – одне з найважливіших понять, яке потрібно знати про геометрію. Прямі кути знаходяться в квадратах, прямокутників і трикутників. Вони всюди в реальному світі теж. Ось кілька прикладів. Малюнок \(\PageIndex\) Зверніть увагу, що невелика коробка використовується, коли кут є прямим кутом. Є багато місць в реальному світі, де можна побачити гострі, тупі і прямі кути. Ось кілька прикладів. Малюнок \(\PageIndex\) Якщо подивитися на кожну з цих картинок, то можна чітко побачити прямі кути. Також зверніть увагу, що дроти моста тягнуться для створення гострих кутів з кожного боку від центральної балки. Інший особливий кут називається прямим кутом. Прямий кут утворює лінію і вимірює рівно 180. Давайте розглянемо приклад. Малюнок \(\PageIndex\) Тепер давайте спробуємо класифікувати кути. Класифікуйте кожен кут нижче. Малюнок \(\PageIndex\) Для кожного кута може допомогти запитати себе: «Він більший чи менший за прямий кут?» Пам’ятайте, прямі кути завжди вимірюють \(90^\) , і використовуються, щоб визначити, кут гострий або тупий. По-перше, зрозумійте, що кут на малюнку не \(\PageIndex\) є прямим кутом або прямим кутом. Кут не має ідеального кута, щоб представляти прямий кут, а кут не є прямою лінією. Далі визначте, чи \(\PageIndex\) є кут на малюнку більше або менше прямого кута. Кут більше ідеального кута, отже, кут більше прямого кута. Потім класифікують кут. Тупий. Відповідь полягає в тому, що малюнок \(\PageIndex\) показує тупий кут. Малюнок \(\PageIndex\) Кут на малюнку \(\PageIndex\) здається прямою лінією. По-перше, визнайте, що \(\PageIndex\) фігура здається прямою лінією. Лінія не здається згинатися. Далі слід згадати значення прямої лінії. Пряма лінія – це особливий кут. Потім класифікують кут. Пряма. Відповідь полягає в тому, що малюнок \(\PageIndex\) показує прямий кут. Малюнок \(\PageIndex\) Малюнок \(\PageIndex\) більший або менший за прямий кут? По-перше, зрозумійте, що кут на малюнку не \(\PageIndex\) є прямим кутом або прямим кутом. Кут не має ідеального кута, щоб представляти прямий кут, а кут не є прямою лінією. Далі визначте, чи \(\PageIndex\) є кут на малюнку більше або менше прямого кута. Кут менше прямого кута. Потім класифікують кут. Гострий. Відповідь полягає в тому, що на малюнку \(\PageIndex\) зображений гострий кут. Малюнок \(\PageIndex\) Кут на малюнку \(\PageIndex\) здається особливим типом кута. Спочатку розпізнайте зовнішній вигляд кута на малюнку \(\PageIndex\) . Кут, здається, утворює ідеальний кут. Далі згадайте, що являє собою ідеальний куточок. Ідеальний куточок являє собою особливий кут. Потім класифікують кут. Правильно. Відповідь полягає в тому, що малюнок \(\PageIndex\) показує прямий кут.

Приклад \(\PageIndex<1>\) Раніше вам давали проблему щодо Марка та дверей його спальні. Він помічає однаковий кут на декількох різних місцях на дверях. Який тип кута утворюється кутом дверей? Рішення Спочатку виділіть відповідні кути. Виділіть кожен кут кута. Далі перерахуємо параметри кута. Гострий, правий, тупий. Потім позначте кутовий кут. Правильно. Відповідь полягає в тому, що кути дверей мають прямі кути.

Приклад \(\PageIndex<2>\) Правда чи брехня. Гострий кут також може бути прямим кутом. Рішення Для початку нагадаємо про визначення гострого кута. Гострий кут менше \(90^\) . Далі пам’ятайте, що кути, що \(90^\) вимірюють точно, – це спеціальні кути. Кути, що \(90^\) вимірюють точно, класифікуються як прямі кути. Потім викладіть свій висновок. Гострий кут не може бути прямим кутом. Відповідь полягає в тому, що твердження помилкове. Гострий кут вимірює менше, ніж \(90^\) тоді як прямий кут вимірює точно \(90^\) , отже, гострий кут не може бути прямим кутом.

Приклад \(\PageIndex<3>\) Визначте кожен тип описаного кута. Кут більше, \(90^\) але менше \(180^\) . Рішення Для початку зверніть увагу на розмір кута. Кут більше, \(90^\) але менше \(180^\) . Далі запам’ятайте правила для кутів. Існує назва для кутів більше, \(90^\) але менше ніж \(180^\) . Потім класифікують кут. Тупий. Відповідь полягає в тому, що кут тупий.

Приклад \(\PageIndex<4>\) Визначте кожен тип описаного кута. Кут, який вимірює \(15^\) . Рішення Для початку зверніть увагу на розмір кута. Кут менше \(90^\) . Далі запам’ятайте правила для кутів. Існує назва для кутів, які менше, ніж \(90^\) . Потім класифікують кут. Гострий. Відповідь полягає в тому, що кут гострий.

Приклад \(\PageIndex<5>\) Визначте кожен тип описаного кута. Кут, який точно вимірює \(90^\) Рішення Для початку зверніть увагу на розмір кута. Кут точно \(90^\) . Далі запам’ятайте правила для кутів. Існує назва кутів, які точно є \(90^\) . Потім класифікують кут. Правильно. Відповідь полягає в тому, що кут – прямий кут.

Рецензія

10.1: Кути та їх міра

До цього моменту ми обговорювали лише кути, які вимірюють між \(0^\) і \(360^\) , включно. Зрештою, ми хочемо використовувати арсенал алгебри, який ми склали в розділах з 1 по 9, щоб не тільки вирішити геометричні проблеми, пов’язані з кутами, але й розширити їх застосовність до інших реальних явищ. Першим кроком у цьому напрямку є розширення нашого поняття «кут» від простого вимірювання ступеня обертання до величин, які можуть бути пов’язані з дійсними числами. З цією метою ми вводимо поняття орієнтованого кута. Як випливає з назви, в орієнтованому куті важливе значення має напрямок обертання. Ми уявляємо, що кут змітається, починаючи з початкової сторони і закінчуючи на стороні терміналу, як показано нижче. Коли обертання проти годинникової стрілки 9 від початкової сторони до кінцевої сторони, ми говоримо, що кут позитивний; коли обертання відбувається за годинниковою стрілкою, ми говоримо, що кут негативний.

На цьому етапі ми також розширюємо наші допустимі обертання, щоб включити кути, які охоплюють більше одного обороту. Наприклад, щоб намалювати кут з мірою, \(450^\) ми починаємо з початкової сторони, обертаємо проти годинникової стрілки один повний оборот (щоб подбати про «перший» \(360^\) ), а потім продовжуємо з додатковим обертанням \(90^\) проти годинникової стрілки, як показано нижче.

Для подальшого з’єднання кутів з алгеброю, яка була раніше, ми часто накладаємо діаграму кута на координатну площину. Кажуть, що кут знаходиться в стандартному положенні, якщо його вершина є початком, а його початкова сторона збігається з позитивною \(x\) віссю. Кути в стандартному положенні класифікуються відповідно до того, де лежить їх кінцева сторона. Наприклад, кут у стандартному положенні, кінцева сторона якого лежить у квадранті I, називається «кутом квадранта I». Якщо кінцева сторона кута лежить на одній з координатних осей, це називається квадратним кутом. Два кути в стандартному положенні називаються котермінальними, якщо вони поділяють одну і ту ж клемну сторону. 10 На малюнку нижче, \(\alpha = 120^\) і два \(\beta = -240^\) котермінальних Кути квадранта II, намальовані в стандартному положенні. Зверніть увагу \(\alpha = \beta + 360^\) , що, або еквівалентно, \(\beta = \alpha – 360^\) . Ми залишаємо це як вправу читачеві, щоб переконатися, що котермінальні кути завжди відрізняються кратними \(360^\) . 11 Точніше, якщо \(\alpha\) і \(\beta\) є котермінальними кутами, \(k\) то \(\beta = \alpha + 360^ \cdot k\) де – ціле число. 12

Два котермінальних кута, \(\alpha = 120^\) причому \(\beta = -240^\) , в стандартному положенні.

Приклад 10.1.2

Графік кожного з (орієнтованих) кутів нижче в стандартному положенні і класифікувати їх відповідно до того, де лежить їх кінцева сторона. Знайдіть три котермінальних кута, принаймні один з яких позитивний і один з яких негативний.

1. Для \(\alpha = 60^\) графіка малюємо кут з початковою стороною на позитивній \(x\) -осі і обертаємо проти \(\frac<60^><360^> = \frac\) годинникової стрілки обороту. Ми бачимо, що \(\alpha\) це квадрант I кут. Щоб знайти кути, які є співтермінальними, ми шукаємо \(\theta\) кути форми \(\theta = \alpha + 360^ \cdot k\) , для деякого цілого числа \(k\) . Коли \(k = 1\) , отримуємо \(\theta = 60^ + 360^ = 420^\) . Підставляючи \(k = -1\) дає \(\theta = 60^ – 360^ = -300^\) . Нарешті, якщо ми дозволимо \(k = 2\) , ми отримаємо \(\theta = 60^ + 720^ = 780^\) .
2. Оскільки \(\beta = – 225^\) негативний, ми починаємо з позитивної \(x\) -осі і обертаємо за годинниковою стрілкою \(\frac<225^><360^> = \frac\) обороту. Ми бачимо, що \(\beta\) це квадрант II кут. Щоб знайти котермінальні кути, ми продовжуємо як і раніше і обчислюємо \(\theta = -225^ + 360^ \cdot k\) для цілих значень \(k\) . Ми знаходимо \(135^\) , \(-585^\) і \(495^\) всі співвідносяться с \(-225^\) .
3. Так як \(\gamma = 540^\) позитивний, обертаємо проти годинникової стрілки від позитивної \(x\) -осі. Одна повна революція припадає \(360^\) , з \(180^\) , або \(\frac\) революція залишилася. Так як кінцева сторона \(\gamma\) лежить на негативній \(x\) -осі, \(\gamma\) є квадратний кут. Всі кути \(\gamma\) співтермінальні з мають вигляд \(\theta = 540^ + 360^ \cdot k\) , де \(k\) – ціле число. Працюючи через арифметику, знаходимо три таких кута: \(180^\) , \(-180^\) і \(900^\) .
4. Грецька буква \(\phi\) вимовляється «fee» або «fie», а \(\phi\) оскільки негативна, ми починаємо обертання за годинниковою стрілкою від позитивної \(x\) осі. Дві повні обороти \(720^\) припадають, з справедливою \(30^\) або \(\frac\) революцією. Ми знаходимо, що \(\phi\) це квадрант IV кут. Щоб знайти котермінальні кути, \(\theta = -750^ + 360^ \cdot k\) обчислюємо кілька цілих чисел \(k\) і отримуємо \(-390^\) , \(-30^\) і \(330^\) .

Зауважте, що оскільки цілих чисел нескінченно багато, будь-який заданий кут має нескінченно багато котермінальних кутів, і читачеві рекомендується побудувати кілька наборів котермінальних кутів, знайдених у прикладі 10.1.2, щоб побачити це. Ми зараз лише в одному кроці від повністю одружених кутів з дійсними числами та рештою алгебри. З цією метою ми згадуємо це визначення з Geometry.

Визначення 10.1.

\(\pi\) Дійсне число визначається як відношення окружності кола до його діаметра. У символах, заданих окружністю \(C\) і діаметром \(d\) ,

Хоча визначення 10.1 цілком можливо є «стандартним» визначенням \(\pi\) , автори були б відхилені, якби ми не згадали, що похований у цьому визначенні насправді теорема. Як читачеві, напевно, відомо, число \(\pi\) є математичною константою – тобто неважливо, яке коло обраний, відношення його окружності до його діаметру буде мати таке ж значення, як і будь-який інший коло. Хоча це дійсно так, це далеко не очевидно і призводить до контрінтуїтивного сценарію, який досліджується у Вправи. Оскільки діаметр кола вдвічі більше радіуса, ми можемо швидко переставити рівняння в Визначенні 10.1, щоб отримати більш корисну для наших цілей формулу, а саме: \(2 \pi = \dfrac\)

Це говорить нам про те, що для будь-якого кола відношення його окружності до його радіуса також завжди постійне; в цьому випадку константа є \(2\pi\) . Припустимо, тепер ми беремо частину кола, тому замість того, щоб порівнювати всю окружність \(C\) з радіусом, порівняємо деякі \(s\) одиниці вимірювання дуги по довжині з радіусом, як показано нижче. \(\theta\) Дозволяти бути центральний кут, піднесений цією дугою, тобто кут, вершина якого є центром кола і визначальні промені якого проходять через кінцеві точки дуги. Використовуючи аргументи пропорційності, можна зрозуміти, що співвідношення також \(\dfrac\) має бути постійною серед усіх кіл, і саме це співвідношення визначає радіанову міру кута.

Радіан міра \(\theta\) є \(\dfrac\) .

Щоб краще відчути радіанову міру, ми зауважимо, що кут з радіановою мірою \(1\) означає, що відповідна довжина дуги \(s\) дорівнює радіусу кола \(r\) , отже \(s = r\) . Коли радіанову міру \(2\) , ми маємо \(s = 2r\) ; коли радіанова міра є \(3\) \(s = 3r\) , і так далі. Таким чином, радіанська міра кута \(\theta\) говорить нам, скільки «радіусних довжин» нам потрібно змітати по колу, щоб зменшити кут \(\theta\) .

Оскільки один оборот змітає всю окружність \(2\pi r\) , один оборот має радіанову міру \(\dfrac = 2 \pi\) . З цього ми можемо знайти радіанову міру інших центральних кутів, використовуючи пропорції, так само, як ми робили з градусами. Наприклад, половина революції має радіанову міру \(\frac (2 \pi) = \pi\) , чверть обороту має \(\frac (2 \pi) = \frac<\pi>\) радіанову міру тощо. Зверніть увагу, що за визначенням радіанове вимірювання кута – це довжина, поділена на іншу довжину, так що ці вимірювання насправді безрозмірні і вважаються «чистими» числами. З цієї причини ми не використовуємо жодних символів для позначення радіановної міри, але ми використовуємо слово «радіани» для позначення цих безрозмірних одиниць у міру необхідності. Наприклад, ми говоримо, що одна революція вимірює « \(2\pi\) радіани», половина революції вимірює « \(\pi\) радіани» тощо.

Як і у випадку з мірою ступеня, різниця між самим кутом та його мірою часто розмивається на практиці, тому, коли ми пишемо \(\theta = \frac<\pi>\) «», ми маємо на увазі кут, який \(\theta\) вимірює \(\frac<\pi>\) радіани. 13 Ми розширюємо радіанову міру до орієнтованих кутів, так само, як ми робили з градусами заздалегідь, так що позитивна міра вказує на обертання проти годинникової стрілки, а негативна міра вказує на обертання за годинниковою стрілкою. 14 Так само, як і раніше, два позитивні кути \(\alpha\) і \(\beta\) є додатковими, якщо \(\alpha + \beta = \pi\) і доповнюють якщо \(\alpha + \beta = \frac<\pi>\) . Нарешті, ми залишаємо це читачеві, щоб показати, що при використанні радіанової міри два кути \(\alpha\) і \(\beta\) є співтермінальними, якщо і тільки якщо \(\beta = \alpha + 2\pi k\) для деякого цілого числа \(k\) .

Приклад 10.1.3

Графік кожного з (орієнтованих) кутів нижче в стандартному положенні і класифікувати їх відповідно до того, де лежить їх кінцева сторона. Знайдіть три котермінальних кута, принаймні один з яких позитивний і один з яких негативний.

1. \(\alpha = \frac<\pi>\) Кут позитивний, тому ми малюємо кут з його початковою стороною на позитивній \(x\) -осі і обертаємо проти \(\frac<\left( \pi / 6\right)>= \frac\) годинникової стрілки обертання. Таким чином \(\alpha\) , є кутом I квадранта. \(\theta\) Котермінальні кути мають вигляд \(\theta = \alpha + 2\pi \cdot k\) , для деякого цілого числа \(k\) . Щоб зробити арифметику трохи простіше, відзначимо, що \(2\pi = \frac\) , таким чином, коли \(k = 1\) , ми отримуємо \(\theta = \frac<\pi>+ \frac= \frac\) . Підставляючи \(k = -1\) дає \(\theta = \frac<\pi>– \frac= -\frac\) і коли ми пускаємо \(k = 2\) , ми отримуємо \(\theta = \frac<\pi>+ \frac= \frac\) .
2. Оскільки \(\beta = – \frac<4\pi>\) негативний, ми починаємо з позитивної \(x\) -осі і обертаємо за годинниковою стрілкою \(\frac<\left(4 \pi / 3\right)><2\pi>= \frac\) обороту. \(\beta\) Знаходимо Квадрант II кут. Щоб знайти котермінальні кути, ми продовжуємо, як і раніше \(2\pi = \frac\) , і обчислюємо \(\theta = -\frac+ \frac\cdot k\) для цілих значень \(k\) . Отримаємо \(\frac<2\pi>\) , \(-\frac\) і \(\frac\) як котермінальні кути.
3. Так як \(\gamma = \frac\) позитивний, обертаємо проти годинникової стрілки від позитивної \(x\) -осі. Одна повна революція припадає на \(2 \pi = \frac\) радіанову міру з \(\frac<\pi>\) або \(\frac\) революцію, що залишилася. У нас є \(\gamma\) як квадрант I кут. Всі кути \(\gamma\) співтермінальні з мають вигляд \(\theta = \frac+ \frac<8\pi>\cdot k\) , де \(k\) – ціле число. Працюючи через арифметику, знаходимо: \(\frac<\pi>\) , \(-\frac\) і \(\frac\) .
4. Для графіка \(\phi = -\frac\) ми починаємо наше обертання за годинниковою стрілкою від позитивної \(x\) -осі. Як \(2 \pi = \frac\) , після одного повного обороту за годинниковою стрілкою, у нас є \(\frac<\pi>\) або \(\frac\) революція залишилася. Так як кінцева сторона \(\phi\) лежить на негативній \(y\) -осі, \(\phi\) є квадратний кут. Щоб знайти котермінальні кути, \(\theta = -\frac+ \frac\cdot k\) обчислюємо кілька цілих чисел \(k\) і отримуємо \(-\frac<\pi>\) , \(\frac\) і \(\frac\) .

Варто згадати, що ми могли б побудувати кути в прикладі 10.1.3, спочатку перетворивши їх на ступінь вимірювання і дотримуючись процедури, викладеної в прикладі 10.1.2. Хоча перетворення назад і вперед з градусів і радіанів, безумовно, хороший навик мати, найкраще, що ви навчитеся «думати в радіанах», а також ви можете «думати в градусах». Автори, однак, були б занедбаними в наших обов’язках, якби ми взагалі проігнорували основну конверсію між цими системами. Оскільки один оборот проти годинникової стрілки вимірює \(360^\) і той же кут \(2 \pi\) вимірює радіани \(\frac><360^>\) , ми можемо використовувати пропорцію або її зменшений еквівалент \(\frac<\pi \, \text><180^>\) , як коефіцієнт перетворення між двома системами. Наприклад, для перетворення \(60^\) в радіани ми знаходимо \(60^ \left( \frac<\pi \, \text><180^>\right) = \frac<\pi> \, \text\) , або просто \(\frac<\pi>\) . Щоб перетворити з радіанової міри назад в градуси, множимо на співвідношення \(\frac<180^><\pi \, \text>\) . Наприклад, \(-\frac \, \text\) дорівнює \(\left(-\frac \, \text \right) \left( \frac<180^><\pi \, \text>\right) = -150^\) . 15 Особливий інтерес викликає той факт, що кут, який вимірюється \(1\) в радіанову міру, дорівнює \(\frac<180^> <\pi>\approx 57.2958^\) .

Ми підсумовуємо ці конверсії нижче.

Рівняння 10.1. Ступінь – Радіан перетворення

• Щоб перетворити ступінь міри в радіанову міру, помножте на \(\dfrac<\pi \, \text>>\)
• Щоб перетворити радіанову міру в ступінь міри, помножте на \(\dfrac><\pi \, \text>\)

У світлі Прикладу 10.1.3 та Equation 10.1 читач цілком може задатися питанням, що таке привабливість радіанової міри. Цифри, що беруть участь, безумовно, набагато складніше, ніж ступінь міри. Відповідь полягає в тому, як легко кути в радіановій мірі можна ідентифікувати за допомогою дійсних чисел. Розглянемо Unit Circle \(x^2 + y^2 = 1\) , як намальовано нижче, кут \(\theta\) у стандартному положенні та відповідні \(s\) одиниці вимірювання дуги по довжині. За визначенням, і той факт, що Одиничне коло має радіус 1, радіанська міра \(\theta\) є \(\dfrac=\dfrac = s\) таким чином, що, ще раз розмиваючи різницю між кутом і його мірою, ми маємо \(\theta = s\) . Для того, щоб ідентифікувати дійсні числа з орієнтованими кутами, ми добре використовуємо цей факт, по суті «обертаючи» дійсну числову лінію навколо Одиничного кола і пов’язуючи з кожним \(t\) дійсним числом орієнтовану дугу на Одиничному колі з початковою точкою \((1,0)\) .

Переглядаючи вертикальну лінію \(x=1\) як іншу дійсну числову лінію, розмежовану як \(y\) -вісь, за умови дійсного числа \(t>0\) , ми «обертаємо» (вертикальний) інтервал \([0,t]\) навколо одиничного кола проти годинникової стрілки. Отримана дуга має довжину \(t\) одиниць і тому відповідний кут має радіанову міру рівну \(t\) . Якщо \(tгодинниковою стрілкою навколо Unit Circle. Оскільки ми визначили обертання за годинниковою стрілкою як негативну радіанову міру, кут, який визначається цією дугою, має радіанову міру рівну \(t\) . Якщо \(t=0\) , ми знаходимося в точці \((1,0)\) на \(x\) -осі, яка відповідає куту з радіановою мірою \(0\) . Таким чином ми ідентифікуємо кожне дійсне число \(t\) з відповідним кутом радіановою мірою \(t\) .

Приклад 10.1.4

Намалюйте орієнтовану дугу на Одиничному колі, що відповідає кожному з наступних дійсних чисел.

1. Асоційована дуга \(t = \frac\) – це дуга на одиничному колі, яка зменшує кут \(\frac\) у радіановій мірі. Оскільки \(\frac\) це \(\frac\) революція, у нас є дуга, яка починається в точці \((1,0)\) протікає проти годинникової стрілки до середини квадранта II.
2. Оскільки один оборот є \(2\pi\) радіанами, і \(t=-2\pi\) негативний, ми графуємо дугу, яка починається \((1,0)\) і триває за годинниковою стрілкою протягом одного повного обороту.
3. \(t=-2\pi\) Мовляв, \(t=-2\) є негативним, тому ми починаємо нашу дугу в \((1,0)\) і продовжуємо за годинниковою стрілкою навколо одиниці кола. Оскільки \(\pi \approx 3.14\) і \(\frac<\pi>\approx 1.57\) , ми виявляємо, що обертаються \(2\) радіани за годинниковою стрілкою від точки \((1,0)\) приземляється нас у квадранті III. Щоб більш точно розмістити кінцеву точку, ми продовжуємо, як ми зробили в прикладі 10.1.1, послідовно вдвічі зменшуючи кут вимірювання, поки ми не знайдемо, \(\frac\approx 1.96\) що говорить нам, що наша дуга поширюється трохи за чверть позначки в квадрант III.
4. Так як \(117\) позитивний, то дуга, відповідна \(t=117\) починається в \((1,0)\) і протікає проти годинникової стрілки. Як \(117\) набагато більше \(2\pi\) , ніж, ми обертаємо навколо Unit Circle кілька разів, перш ніж нарешті досягти нашої кінцевої точки. Ми наближаємося \(18.62\) , \(\frac<2\pi>\) як це говорить нам, що ми \(18\) завершуємо обороти проти годинникової стрілки з \(0.62\) , або просто соромимося революції, щоб пощадити. \(\frac\) Іншими словами, кінцева сторона кута, який вимірює \(117\) радіани в стандартному положенні, лише коротка від того, щоб бути посередині квадранта III.

10.1.1 Застосування радіановної міри: круговий рух

Тепер, коли у нас є парні кути з дійсними числами за допомогою радіанової міри, нас чекає цілий світ додатків. Наша перша екскурсія в це царство відбувається шляхом кругового руху. Припустимо, об’єкт рухається, як показано нижче, уздовж кругової траєкторії радіуса \(r\) від точки \(P\) до точки \(Q\) за певний проміжок часу \(t\) .

Тут \(s\) являє собою зміщення таким чином, що \(s > 0\) означає, що об’єкт рухається проти годинникової стрілки і \(s\) , все ще тримається, оскільки від’ємне значення \(s\) понесеного від зміщення за годинниковою стрілкою відповідає негативному, який ми призначаємо \(\theta\) для обертання за годинниковою стрілкою. У фізиці середня швидкість об’єкта, що позначається \(\overline\) і читається як \(v\) ‘-bar’, визначається як середня швидкість зміни положення об’єкта по відношенню до часу. 16 В результаті ми маємо \(\overline = \frac>> = \dfrac\) . Кількість \(\overline\) має одиниці \(\frac>>\) і передає дві ідеї: напрямок, в якому рухається об’єкт і як швидко змінюється положення об’єкта. Внесок напрямку в величину \(\overline\) полягає або в тому, щоб зробити його позитивним (у випадку руху проти годинникової стрілки), або негативним (у випадку руху за годинниковою стрілкою), так що величина \(\left| \overline \right|\) кількісно визначає, наскільки швидко рухається об’єкт – це швидкість об’єкта. Вимірювання \(\theta\) в радіанах ми маємо \(\theta = \dfrac\) таким чином \(s = r \theta\) і \[\overline = \frac = \frac = r \cdot \frac\nonumber\] \(\dfrac\) Величина називається середньою кутовою швидкістю об’єкта. Він позначається \(\overline<\omega>\) і читається «омега-бар». Величина \(\overline<\omega>\) – це середня швидкість зміни кута \(\theta\) по відношенню до часу і, таким чином, має одиниці \(\frac>>\) . Якщо \(\overline<\omega>\) постійний протягом всієї тривалості руху, то можна показати 17 , що середні задіяні швидкості, а саме \(\overline\) і \(\overline<\omega>\) , такі ж, як і їх миттєві аналоги, \(v\) і \(\omega\) , відповідно. У цьому випадку \(v\) називається просто «швидкість» об’єкта і являє собою миттєву швидкість зміни положення об’єкта по відношенню до часу. 18 Аналогічно \(\omega\) називається «кутова швидкість» і є миттєвою швидкістю зміни кута по відношенню до часу.

Якби шлях об’єкта був «не згорнутий» з кола, щоб сформувати відрізок лінії, то швидкість об’єкта на цьому відрізку лінії була б такою ж, як швидкість на колі. З цієї причини величину часто \(v\) називають лінійною швидкістю об’єкта, щоб відрізнити його від кутової швидкості, \(\omega\) . Зібравши воєдино ідеї попереднього пункту, отримуємо наступне.

Рівняння 10.2. Швидкість кругового руху

Для об’єкта, що рухається по круговому шляху радіусу \(r\) з постійною кутовою швидкістю \(\omega\) , (лінійна) швидкість об’єкта задається \(v = r \omega\) .

Ми повинні поговорити про одиниці тут. Одиниці \(v\) є \(\frac>>\) , одиниці \(r\) довжини тільки, і одиниці \(\omega\) є \(\frac>>\) . Таким чином, ліва сторона рівняння \(v = r \omega\) має одиниці \(\frac>>\) , тоді як права сторона має одиниці \(\text \cdot \frac>> = \frac \cdot \text>>\) . Передбачуване протиріччя в одиницях вирішується, пам’ятаючи, що радіани – це безрозмірна величина, а кути в радіановій мірі ідентифікуються дійсними числами, щоб одиниці \(\frac \cdot \text>>\) зменшувалися до одиниць \(\frac>>\) . Ми давно назріли для прикладу.

Приклад 10.1.5

Припускаючи, що поверхня Землі є сферою, будь-яку точку на Землі можна розглядати як об’єкт, що рухається по колу, який завершує один оборот за (приблизно) 24 години. Шляхом, простеженим точкою протягом цього 24-годинного періоду, є широтою цієї точки. Коледж Lakeland Community College знаходиться на \(41.628^\) північній широті, і можна показати 19 , що радіус землі на цій Широті становить приблизно \(2960\) милі. Знайдіть лінійну швидкість, у милі на годину, Lakeland Community College, коли світ обертається.

Щоб скористатися формулою \(v = r \omega\) , спочатку потрібно обчислити кутову швидкість \(\omega\) . Земля робить один оборот за 24 години, а один оборот – \(2 \pi\) радіани, тому, де \(\omega = \frac>> = \frac<\pi>>\) , знову ж таки, ми використовуємо той факт, що радіани є дійсними числами і безрозмірні. (Заради простоти, ми також припускаємо, що ми розглядаємо обертання землі як проти годинникової стрілки \(\omega > 0\) .) Значить, лінійна швидкість \[v = 2960 \, \text \cdot \frac<\pi>> \approx 775 \, \frac<\text>>\nonumber\]

Варто відзначити, що величина \(\frac>>\) в прикладі 10.1.5 називається звичайною частотою руху і зазвичай позначається змінною \(f\) . Звичайна частота – це міра того, як часто об’єкт робить повний цикл руху. Той факт, що \(\omega = 2\pi f\) говорить про те, що також \(\omega\) є частотою. Дійсно, її називають кутовою частотою руху. На відповідній ноті величина \(T = \dfrac\) називається періодом руху і є кількістю часу, необхідного об’єкту для завершення одного циклу руху. У сценарії Прикладу 10.1.5 період руху становить 24 години, або один день.

Поняття частоти та періоду допомагають сформувати рівняння \(v = r \omega\) в новому світлі. Тобто, якщо \(\omega\) зафіксовано, точки, що знаходяться далі від центру обертання, повинні рухатися швидше, щоб підтримувати ту саму кутову частоту, оскільки вони мають далі подорожувати, щоб зробити один оборот за один проміжок часу. Відстань об’єкта до центру обертання – це радіус кола \(r\) , і є «коефіцієнтом збільшення», який стосується \(\omega\) і \(v\) . Ми будемо більше сказати про частоти та періоди в розділі 11.5. Поки ми вичерпно обговорили швидкості, пов’язані з круговим рухом, нам ще належить обговорити більш природне питання: якщо об’єкт рухається по круговому шляху радіуса \(r\) з фіксованою кутовою швидкістю (частотою) \(\omega\) , яке положення об’єкта в часі \(t\) ? Відповідь на це питання – саме серце тригонометрії і відповідає в наступному розділі.

10.1.2. вправи

У вправах 1 – 4 перетворіть кути в систему DMS. Округляйте кожну з ваших відповідей до найближчої секунди.

У вправах 5 – 8 перетворіть кути в десяткові градуси. Округляйте кожну з ваших відповідей до трьох знаків після коми.

У вправах 9 – 28 графік орієнтованого кута в стандартному положенні. Класифікуйте кожен кут відповідно до того, де лежить його кінцева сторона, а потім дайте два котермінальні кути, один з яких позитивний, а інший негативний.

У вправах 29 – 36 перетворіть кут від градусної міри в радіанову міру, даючи точне значення в терміні \(\pi\) .

У вправах 37 – 44 перетворіть кут від радіановної міри в градусну міру.

У вправах 45 – 49 намалюйте орієнтовану дугу на Одиничному колі, яка відповідає заданому дійсному числу.

1. \(t=\frac\)
2. \(t=-\pi\)
3. \(t = 6\)
4. \(t = -2\)
5. \(t = 12\)
6. Йо-йо, який становить 2,25 дюйма в діаметрі, обертається зі швидкістю 4500 оборотів в хвилину. Наскільки швидко обертається край йо-йо в милі на годину? Округляйте відповідь до двох знаків після коми.
7. Скільки обертів на хвилину йо-йо у вправі 50 повинні завершити, якщо край йо-йо повинен обертатися зі швидкістю 42 миль на годину? Округляйте відповідь до двох знаків після коми.
8. У трюку йо-йо «Навколо світу» виконавець кидає йо-йо, щоб він змітав вертикальне коло, радіус якого є рядком йо-йо. Якщо рядок йо-йо має довжину 28 дюймів, а йо-йо займає 3 секунди, щоб завершити один оборот кола, обчислити швидкість йо-йо в милі на годину. Округляйте відповідь до двох знаків після коми.
9. Комп’ютерний жорсткий диск містить круглий диск діаметром 2,5 дюйма і обертається зі швидкістю 7200 об/хв (оборотів в хвилину). Знайти лінійну швидкість точки на краю диска в милі на годину.
10. Скеля застрягла в протекторі моєї шини, і коли я їхав 70 миль на годину, скеля звільнилася і потрапила в внутрішню частину колеса добре автомобіля. Як швидко, в милі на годину, скеля подорожувала, коли вона вийшла з протектора? (Шина має діаметр 23 дюйми.)
11. Гігантське колесо в Cedar Point – це коло діаметром 128 футів, який сидить на платформі 8 футів, що робить його загальна висота становить 136 футів. (Пам’ятайте це з вправи 17 в розділі 7.2?) Він завершує два обороти за 2 хвилини і 7 секунд. 20 Припускаючи, що вершники знаходяться на краю кола, наскільки швидко вони подорожують у милі на годину?
12. Розглянемо коло радіуса на \(r\) малюнку нижче з центральним кутом \(\theta\) , виміряним в радіанах, і зменшеною дугою довжини \(s\) . Доведіть, що площа затіненого сектора є \(A = \fracr^ \theta\) . (Підказка: Використовуйте пропорцію \(\frac> = \frac>\) .)

У Вправах 57 – 62 використовуйте результат вправи 56 для обчислення площ кругових секторів із заданими центральними кутами і радіусами.

1. \(\theta = \dfrac<\pi>, \; r = 12\)
2. \(\theta = \dfrac<5\pi>, \; r = 100\)
3. \(\theta = 330^, \; r = 9.3\)
4. \(\theta =\pi, \; r = 1\)
5. \(\theta = 240^, \; r = 5\)
6. \(\theta = 1^, \; r = 117\)
7. Уявіть собі мотузку, зав’язану навколо Землі на екваторі. Покажіть, що потрібно додати до мотузки тільки \(2\pi\) ноги довжини, щоб підняти її на одну ногу над землею навколо всього екватора. (Вам НЕ потрібно знати радіус Землі, щоб показати це.)
8. За допомогою своїх однокласників шукайте доказ того, що дійсно \(\pi\) є постійною.

10.1.3 Відповіді

1. \(63^ 45’\)
2. \(200^ 19′ 30”\)
3. \(-317^ 3′ 36”\)
4. \(179^ 59′ 56”\)
5. \(125.833^\)
6. \(-32.17^\)
7. \(502.583^\)
8. \(237.979^\)
9. \(330^\) є котермінальним кутом IV \(690^\) квадранта з і \(-30^\)
10. \(-135^\) є котермінальним кутом Quadrant III з \(225^\) і \(-495^\)
11. \(120^\) є спільним кутом квадранта II з \(480^\) і \(-240^\)
12. \(405^\) це квадратний I кут співтермінал з \(45^\) і \(-315^\)
13. \(-270^\) лежить на позитивній \(y\) -осі співтермінал з \(90^\) і \(-630^\)
14. \(\dfrac<5\pi>\) є спільним кутом квадранта II з \(\dfrac<17\pi>\) і \(-\dfrac<7\pi>\)
15. \(-\dfrac<11\pi>\) це квадратний I кут співтермінал з \(\dfrac<\pi>\) і \(-\dfrac<5\pi>\)
16. \(\dfrac<5\pi>\) є котермінальним кутом Quadrant III з \(\dfrac<13\pi>\) і \(-\dfrac<3\pi>\)
17. \(\dfrac<3\pi>\) є спільним кутом квадранта II з \(\dfrac<11\pi>\) і \(-\dfrac<5\pi>\)
18. \(-\dfrac<\pi>\) є котермінальним кутом IV \(\dfrac<5\pi>\) квадранта з \(-\dfrac<7\pi>\)
19. \(\dfrac<7\pi>\) лежить на негативній \(y\) -осі співтермінал з \(\dfrac<3\pi>\) і \(-\dfrac<\pi>\)
20. \(\dfrac<\pi>\) це квадратний I кут співтермінал з \(\dfrac\) і \(-\dfrac<7\pi>\)
21. \(-\dfrac<\pi>\) лежить на негативній \(y\) -осі співтермінал з \(\dfrac<3\pi>\) і \(-\dfrac<5\pi>\)
22. \(\dfrac<7\pi>\) є котермінальним кутом Quadrant III з \(\dfrac\) і \(-\dfrac<5\pi>\)
23. \(-\dfrac<5\pi>\) це квадратний I кут співтермінал з \(\dfrac<\pi>\) і \(-\dfrac<11\pi>\)
24. \(3\pi\) лежить на негативній \(x\) -осі співтермінал з \(\pi\) і \(-\pi\)
25. \(-2\pi\) лежить на позитивній \(x\) -осі співтермінал з \(2\pi\) і \(-4\pi\)
26. \(-\dfrac<\pi>\) є котермінальним кутом IV \(\dfrac\) квадранта з \(-\dfrac<9\pi>\)
27. \(\dfrac<15\pi>\) є котермінальним кутом IV \(\dfrac<7\pi>\) квадранта з \(-\dfrac<\pi>\)
28. \(-\dfrac<13\pi>\) є котермінальним кутом IV \(\dfrac<11\pi>\) квадранта з \(-\dfrac<\pi>\)
29. \(0\)
30. \(\dfrac<4\pi>\)
31. \(\dfrac<3\pi>\)
32. \(-\dfrac<3\pi>\)
33. \(-\dfrac<7\pi>\)
34. \(\dfrac<5\pi>\)
35. \(\dfrac<\pi>\)
36. \(-\dfrac<5\pi>\)
37. \(180^\)
38. \(-120^\)
39. \(210^\)
40. \(330^\)
41. \(60^\)
42. \(300^\)
43. \(-30^\)
44. \(90^\)
45. \(t = \dfrac<5\pi>\)
46. \(t = -\pi\)
47. \(t = 6\)
48. \(t = -2\)
49. \(t = 12\) (між 1 і 2 оборотами)
50. Близько 30,12 миль на годину
51. Близько 6274.52 оборотів на хвилину
52. Близько 3.33 миль на годину
53. Близько 53.55 миль на годину
54. 70 миль на годину
55. Близько 4.32 миль на годину
56. \(12\pi\) квадратні одиниці
57. \(6250\pi\) квадратні одиниці
58. \(79.2825\pi \approx 249.07\) квадратні одиниці
59. \(\dfrac<\pi>\) квадратні одиниці
60. \(\dfrac<50\pi>\) квадратні одиниці
61. \(38.025 \pi \approx 119.46\) квадратні одиниці

Довідка

1 Фраза «принаймні» буде виправдана в короткому порядку.

2 Вибір «360» найчастіше приписують вавилонянам.

3 Ось як градуюється транспортир.

4 Дивовижний математичний каламбур в сторону, це та сама ідея, що стоїть за визначенням ірраціональних показників у розділі 6.1.

5 Чи здається така система знайомою?

6 Якщо цей процес здається звично знайомим, він повинен. Порівняйте цей метод з методом бісекції, представленим у розділі 3.3.

7 Як і «пряма кишка», це також справжній математичний термін.

8 Це саме те саме «запозичення», яке ви використовували в початковій школі, намагаючись знайти 300 − 125. Тоді ви працювали в базовій десятій системі; тут, це база шістдесят.

10 Зауважте, що, перебуваючи в стандартному положенні, вони автоматично поділяють ту саму початкову сторону, яка є позитивною віссю x.

11 Варто відзначити, що всі патології аналітичної тригонометрії є результатом цього нешкідливого факту.

12 Нагадаємо, що це означає \(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) .

13 Автори добре усвідомлюють, що зараз ми ідентифікуємо радіани з дійсними числами. Ми виправдаємо це найближчим часом.

14 Це, в свою чергу, також наділяє підтягнуті дуги орієнтацією. Ми вирішуємо це в короткому порядку.

15 Відзначимо, що негативний знак вказує на обертання за годинниковою стрілкою в обох системах, і так воно проводиться відповідно.

16 Див. Визначення 2.3 в розділі 2.1 для огляду цього поняття.