Довідник для кожного математичних символів і того, що вони представляють

Дізнайтеся, що означають ці, здавалося б, випадкові позначення

Грілійн / Нуша Ашджаї

• Ресурси
• Підручники з математики
• Геометрія
• Арифметика
• Попередня алгебра та алгебра
• Статистика
• Експоненціальний розпад
• Робочі аркуші за класами

Математичні символи — часто крихітні, нерозбірливі та, здавалося б, випадкові — надзвичайно важливі. Деякі математичні символи є грецькими та латинськими літерами , що сягають століть у давнину. Інші, як-от плюс, мінус, час і символи ділення, здаються простими позначеннями на папері. Тим не менш, символи в математиці – це, по суті, інструкції, які керують цією сферою вчених. І вони мають справжню цінність у реальному житті.

Знак «плюс» (+) може вказувати на те, що ви додаєте готівку на свій банківський рахунок, тоді як знак «мінус» (-) може вказувати на те, що вас чекають проблеми — що ви віднімаєте кошти та, можливо, ризикуєте залишитися без грошей. Дужки, які в англійській мові вказують на те, що ви вставляєте в речення несуттєву думку, означають якраз протилежне в математиці: що ви повинні спочатку опрацювати те, що вказано в межах цих двох розділових знаків, і лише потім виконувати решту задачі. Читайте далі, щоб дізнатися, що таке загальні математичні символи, що вони представляють і чому вони важливі.

Загальні математичні символи

Ось список найпоширеніших символів, які використовуються в математиці .

символ

Що це собою представляє

Математичні символи в реальному житті

Ви використовуєте математичні символи більше, ніж уявляєте, у всіх сферах свого життя. Як зазначалося вище, різниця між символом «плюс» і «мінус» у банківській справі може вказувати на те, додаєте ви значні кошти на свій банківський рахунок чи знімаєте кошти. Якщо ви коли-небудь користувалися комп’ютерною електронною таблицею бухгалтерського обліку, ви, мабуть, знаєте, що знак великої суми (∑) дає вам простий — справді миттєвий — спосіб додати нескінченний стовпець чисел.

“Пі”, яке позначається грецькою літерою π , використовується в усьому світі математики, науки, фізики, архітектури тощо. Незважаючи на походження числа «пі» з геометрії, це число має застосування в усій математиці та навіть з’являється в темах статистики та ймовірності. А символ нескінченності (∞) не тільки є важливим математичним поняттям, але також вказує на нескінченний простір Всесвіту (в астрономії) або нескінченні можливості, які випливають із кожної дії чи думки (у філософії).

Поради щодо символів

Незважаючи на те, що в цьому списку вказано більше математичних символів, це одні з найпоширеніших. Вам часто доведеться використовувати HTML -код, щоб символи відображалися в Інтернеті, оскільки багато шрифтів не підтримують використання математичних символів. Однак ви також знайдете більшість із них у графічному калькуляторі .

У міру просування в математиці ви почнете використовувати ці символи все частіше. Якщо ви плануєте вивчати математику, це буде варте вашого часу — і справді заощадить вам нескінченну (∞) кількість цього цінного ресурсу — якщо ви будете тримати цю таблицю математичних символів під рукою.

Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Основные формулы тригонометрии – это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных тригонометрических формул можно находить и решать практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь все тригонометрические формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую (посредством преобразования).

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg) и их свойств.

Основные формулы приведения в тригонометрии

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов, то есть, преобразовывать их.

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin – α + 2 π z = – sin α , cos – α + 2 π z = cos α t g – α + 2 π z = – t g α , c t g – α + 2 π z = – c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = – sin α t g π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = – t g α sin π 2 – α + 2 π z = cos α , cos π 2 – α + 2 π z = sin α t g π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 – α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = – sin α , cos π + α + 2 π z = – cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π – α + 2 π z = sin α , cos π – α + 2 π z = – cos α t g π – α + 2 π z = – t g α , c t g π – α + 2 π z = – c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = – c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = – t g α sin 3 π 2 – α + 2 π z = – cos α , cos 3 π 2 – α + 2 π z = – sin α t g 3 π 2 – α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 – α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Все формулы сложения в тригонометрии

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = – 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α , cos 2 α = 1 – 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α – 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 – t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α – 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α – sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α – 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α – 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = – 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α – t g 3 α 1 – 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α – 3 c t g α 3 c t g 2 α – 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 – cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 – cos α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α – sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 – 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздкими степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n решение

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 ( – 1 ) n 2 – k · C k n · cos ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n 2 – 1 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

sin n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 ( – 1 ) n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 k ) α ) cos n α = 1 2 n – 1 ∑ k = 0 n – 1 2 C k n · cos ( ( n – 2 k ) α )

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно для применения при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α – β 2 sin α – sin β = 2 sin α – β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α – β 2 cos α – cos β = – 2 sin α + β 2 · sin α – β 2 , cos α – cos β = 2 sin α + β 2 · sin β – α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению или умножению, то формулы произведения (здесь нужно умножать) тригонометрических функций осуществляют обратный переход – от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · ( cos ( α – β ) – cos ( α + β ) ) cos α · cos β = 1 2 · ( cos ( α – β ) + cos ( α + β ) ) sin α · cos β = 1 2 · ( sin ( α – β ) + sin ( α + β ) )

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции – тангенс, котангенс, синус, косинус – могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 – t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 – t g 2 α 2 c t g α = 1 – t g 2 α 2 2 t g α 2