Теорема Піфагора пряма. Різні способи доказу теореми піфагору

Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхід та суху мову формул та цифр. Математику до гуманітарних предметів не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх-давен. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та азбучних істин – тільки за таких умов народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, у давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, що існують сьогодні. В цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше пов’язана з нею більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручниках переважно наводять алгебраїчні докази. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно встановити ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, але і рівнобедреним. Є підстави вважати, що такий трикутник спочатку розглядали математики давнини.

Твердження “квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах”можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло в основу численних анекдотів та карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує в собі алгебру та геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті побудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. В результаті виходити два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна вирахувати і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2– Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів та послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту саму величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» – через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до протилежних сторін квадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде фігура під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стіл нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він “Метод Гарфілда”.

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З’єднайте точки Еі В, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площі трьох трикутників, що її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, є не лише прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ=CD, АС=EDі ВС=СЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED– Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши між ними знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам і описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частину запису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звичайно, цей список доказів не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальних рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він є дуже цікавим і має велике значення у геометрії. Піфагорові трійки застосовуються на вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшому освіті.

То що таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, зібрані по три, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

• примітивними (всі три числа – взаємно прості);
• не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого рівні числа з піфагорової трійки, є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку для будівництва: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосування у завданнях різного рівня складності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як b, тоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також висловимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і знадобиться, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, який на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6– Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилого даху. Визначити, якою висоти вежа мобільного зв’язку потрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинку на міській площі. Як бачите, ця теорема живе не лише на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити в наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумніву і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоти, лежать
Дар у відповідь Пифагора.

З тих пір бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем’я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великий теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора – не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програми з математики та дізнатися не тільки про те, що доведено теореми Піфагора, які наведені в підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7 -11 »(А.В. Погорєлов), але й інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на вищі бали на уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерел завжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, як математика цікава наука. Переконатися на конкретних прикладах, що завжди є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора та ця стаття надихнуть вас на самостійні пошуки та хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов’язкове.

Головна

Методи підтвердження теореми Піфагора.

Г. Глейзер,
академік РАВ, Москва

Про теорему Піфагора та способи її доказу

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Це одна з найвідоміших геометричних теорем давнини, звана теорема Піфагора. Її і зараз знають практично всі, хто будь-коли вивчав планиметрію. Мені здається, що якщо ми хочемо дати знати позаземним цивілізаціям про існування розумного життя на Землі, слід посилати в космос зображення Піфагорової фігури. Думаю, якщо цю інформацію зможуть прийняти мислячі істоти, всі вони без складної дешифровки сигналу зрозуміють, що Землі існує досить розвинена цивілізація.

Знаменитий грецький філософ і математик Піфагор Самоський, іменем якого названа теорема, жив близько 2,5 тисячі років тому. Біографічні відомості, що дійшли до нас, про Піфагора уривчасті і далеко не достовірні. З його ім’ям пов’язано багато легенд. Достовірно відомо, що Піфагор багато подорожував країнами Сходу, відвідував Єгипет та Вавилон. В одній із грецьких колоній Південної Італії їм було засновано знамениту «Піфагорову школу», яка відіграла важливу роль у науковому та політичному житті древньої Греції. Саме Піфагор приписують доказ відомої геометричної теореми. На основі переказів, поширених відомими математиками (Прокл, Плутарх та інших.), тривалий час вважали, що до Піфагора ця теорема була відома, звідси і назва – теорема Піфагора.

Проте не підлягає сумніву, що цю теорему знали за багато років до Піфагора. Так, за 1500 років до Піфагора стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним, і користувалися цією властивістю (тобто теорема, зворотна теорема Піфагора) для побудови прямих кутів при плануванні земельних ділянок і споруд будівель. Та й досі сільські будівельники та теслярі, закладаючи фундамент хати, виготовляючи її деталі, викреслюють цей трикутник, щоб одержати прямий кут. Це ж робилося тисячі років тому при будівництві чудових храмів в Єгипті, Вавилоні, Китаї, ймовірно, і в Мексиці. У найдавнішому китайському математико-астрономічному творі «Чжоу-бі», що дійшов до нас, написаному приблизно за 600 років до Піфагора, серед інших пропозицій, що відносяться до прямокутного трикутника, міститься і теорема Піфагора. Ще раніше ця теорема була відома індуси. Таким чином, Піфагор не відкрив цю властивість прямокутного трикутника, він, ймовірно, першим зумів його узагальнити і довести, перевести цим із галузі практики в область науки. Ми не знаємо, як це він зробив. Деякими істориками математики передбачається, що все ж таки доказ Піфагора було не важливим, а лише підтвердженням, перевіркою цієї властивості на ряді приватних видів трикутників, починаючи з рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого воно явно випливає з рис. 1.

З давнину математики знаходять все нові і нові докази теореми Піфагора, все нові і нові задуми її доказів. Таких доказів – більш-менш строгих, більш-менш наочних – відомо понад півтори сотні, але прагнення примноження їх числа збереглося. Думаю, що самостійне «відкриття» доказів теореми Піфагора буде корисним і сучасним школярам.

Розглянемо деякі приклади доказів, які можуть підказати напрями таких пошуків.

Доказ Піфагора

“Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.”Найпростіший доказ теореми виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Ймовірно, з нього і починалася теорема. Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми. Наприклад, для DАВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС,містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катететах по два. Теорему доведено.

Докази, засновані на використанні поняття рівновеликості фігур.

При цьому можна розглянути докази, у яких квадрат, побудований на гіпотенузі даного прямокутного трикутника, «складається» з таких самих фігур, що й квадрати, побудовані на катетах. Можна розглядати і такі докази, в яких застосовується перестановка доданків і враховується ряд нових ідей.

На рис. 2 зображено два рівні квадрати. Довжина сторін кожного квадрата дорівнює a+b. Кожен із квадратів розбитий на частини, що складаються з квадратів та прямокутних трикутників. Зрозуміло, що й від площі квадрата відібрати вчетверную площу прямокутного трикутника з катетами a, b, залишаться рівні площі, т. е. c 2 = a 2 + b 2 . Втім, стародавні індуси, яким належить це міркування, зазвичай не записували його, а супроводжували креслення лише одним словом: «Дивись!» Цілком можливо, що такий самий доказ запропонував і Піфагор.

Адитивні докази.

Ці докази засновані на розкладанні квадратів, побудованих на катетах, фігури, з яких можна скласти квадрат, побудований на гіпотенузі.

Тут: ABC – прямокутний трикутник із прямим кутом C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Самостійно доведіть попарну рівність трикутників, отриманих при розбитті квадратів, побудованих на катетах та гіпотенузі.

Доведіть теорему за допомогою цього розбиття.

 На основі доказу ан-Найризія виконано й інше розкладання квадратів на рівні рівні попарно (рис. 5, тут ABC – прямокутний трикутник з прямим кутом C).

 Ще один доказ методом розкладання квадратів на рівні частини, що називається «колесом з лопатями», наведено на рис. 6. Тут: ABC – прямокутний трикутник з прямим кутом C; O – центр квадрата, збудованого на великому катете; пунктирні прямі, що проходять через точку O, перпендикулярні або паралельні до гіпотенузи.

 Це розкладання квадратів цікаве тим, що попарно рівні чотирикутники можуть бути відображені один на одного паралельним переносом. Може бути запропоновано багато інших доказів теореми Піфагора за допомогою розкладання квадратів на фігури.

Докази шляхом достроения.

Сутність цього методу полягає в тому, що до квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, приєднують рівні фігури таким чином, щоб вийшли рівновеликі фігури.

Справедливість теореми Піфагора випливає із рівновеликості шестикутників AEDFPB та ACBNMQ. Тут CEP, пряма EP ділить шестикутник AEDFPB на два рівновеликі чотирикутники, пряма CM ділить шестикутник ACBNMQ на два рівновеликі чотирикутники; поворот площини на 90° навколо центру A відображає чотирикутник AEPB на чотирикутник ACMQ.

На рис. 8 Піфагорова фігура добудована до прямокутника, сторони якого паралельні відповідним сторонам квадратів, побудованих на катетах. Розіб’ємо цей прямокутник на трикутники та прямокутники. З отриманого прямокутника спочатку заберемо всі багатокутники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, залишився квадрат, побудований на гіпотенузі. Потім із того ж прямокутника віднімемо прямокутники 5, 6, 7 і заштриховані прямокутники, отримаємо квадрати, побудовані на катетах.

Тепер доведемо, що фігури, що віднімаються в першому випадку, рівновеликі фігурам, що віднімаються в другому випадку.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

звідси c2 = a2+b2.

OCLP = ACLF = ACED = b 2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

Алгебраїчний метод підтвердження.

Рис. 12 ілюструє доказ великого індійського математика Бхаскарі (знаменитого автора Лілаваті, X ІІ ст.). Малюнок супроводжувало лише одне слово: ДИВИСЬ! Серед доказів теореми Піфагора алгебраїчним методом перше місце (можливо, найдавніше) займає доказ, що використовує подібність.

Наведемо у сучасному викладі один із таких доказів, що належать Піфагору.

Н а рис. 13 ABC – прямокутний, C – прямий кут, CMAB, b 1 – проекція катета b на гіпотенузу, a 1 – проекція катета a на гіпотенузу, h – висота трикутника, проведена до гіпотенузи.

З того, що ABC подібний ACM випливає

з того, що ABC подібний BCM слід

Складаючи почленно рівності (1) та (2), отримаємо a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Якщо Піфагор справді запропонував такий доказ, то він був знайомий і з цілою низкою важливих геометричних теорем, які сучасні історики математики зазвичай приписують Евклідові.

Доказ Мельманна (рис. 14).
Площа даного прямокутного трикутника, з одного боку, дорівнює з іншого, де p – півпериметр трикутника, r – радіус вписаного до нього кола Маємо:

звідки випливає, що c 2 =a 2 +b 2 .

Прирівнюючи ці висловлювання, отримуємо теорему Піфагора.

Комбінований метод

Рівність трикутників

c 2 = a 2 + b 2. (3)

Порівнюючи співвідношення (3) і (4), отримуємо, що

c 1 2 = c 2 або c 1 = c.

Таким чином, трикутники – даний та побудований – рівні, оскільки мають по три відповідно рівні сторони. Кут C 1 прямий, тому кут C даного трикутника теж прямий.

Давньоіндійський доказ.

Математики Стародавньої Індії помітили, що для доказу теореми Піфагора досить використовувати внутрішню частину давньокитайського креслення. У написаному на пальмовому листі трактату «Сіддханта широмані» («Венок знання») найбільшого індійського математика ХП ст. Бха-скари вміщено креслення (рис. 4)

притаманним індійських доказів l словом «дивись!». Як бачимо, прямокутні трикутники укладені тут гіпотенузою назовні і квадрат з 2 перекладається в «крес-ло нареченої» з 2 -Ь 2 . Зауважимо, що приватні випадки теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого вдвічі більша рис.4площі даного квадрата) зустрічаються у давньоіндійському трактаті “Сульва”

Вирішили прямокутний трикутник і квадрати, побудовані на його катетах, або інакше фігури, складені з 16 однакових рівнобедрених прямокутних трикутників і тому укладаються в квадрат. Така лили. Мала дещиця багатств, прихованих у перлині античної математики – теоремі Піфагора.

Давньокитайський доказ.

Математичні трактати Стародавнього Китаю дійшли до нас у редакції П ст. до н.е. Справа в тому, що у 213 р. до н.е. китайський імператор Ши Хуан-ді, прагнучи ліквідувати колишні традиції, наказав спалити усі давні книги. У П ст. до н.е. в Китаї був винайдений папір і одночасно починається відтворення стародавніх книг. Головне з збережених астрономічних творів – в книзі «Математика» вміщено креслення (рис. 2, а), що доводить теорему Піфагора. Ключ до цього доказу підібрати неважко. Справді, на давньо-китайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a, b і гіпотенузою зпокладено г)так, що їх зовнішній контур утворює Рис-2 квадрат зі стороною а+Ь,а внутрішній – квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі (рис. 2, б). Якщо квадрат зі стороною з вирізати і 4 затушовані трикутники, що залишилися, укласти в два прямокутники (рис. 2, в),то ясно, що порожнеча, з одного боку, дорівнює З 2 , а з іншого – з 2 +Ь 2 , тобто. c 2 =  2 +b 2 . Теорему доведено. Зауважимо, що з такому доказі побудови всередині квадрата на гіпотенузі, які ми бачимо на давньокитайському кресленні (рис. 2, а), не використовуються. Очевидно, давньокитайські математики мали інший доказ. Саме якщо у квадраті зі стороною здва заштриховані трикутники (рис. 2, б)відрізати та прикласти гіпотенузами до двох інших гіпотенуз (мал. 2, г),то легко виявити, що

Отримана фігура, яку іноді називають «кріслом нареченої», складається із двох квадратів зі сторонами аі Ь,тобто. c 2 == a 2 +Ь 2 .

Н а малюнку 3 відтворено креслення із трактату «Чжоу-бі. ». Тут теорема Піфагора розглянута для єгипетського трикутника з катетами 3, 4 і гіпотену-зою 5 одиниць виміру. Квадрат на гіпотенузі містить 25 клітин, а вписаний у нього квадрат на більшому катете-16. Зрозуміло, що частина містить 9 клітин. Це і буде квадрат на меншому катете.

Шаповалова Л.А. (ст. Єгорлицька, МБОУ ЄСОШ № 11)

1. Глейзер Г.І. Історія математики в школі VII – VIII класи, посібник для вчителів – М: Просвітництво, 1982.

2. Демпан І.Я., Віленкін Н.Я. “За сторінками підручника математики” Посібник для учнів 5-6 класів. – М.: Просвітництво, 1989.

3. Зенкевич І.Г. “Естетика уроку математики”. – М.: Просвітництво, 1981.

4. Літцман В. Теорема Піфагора. – М., 1960.

5. Волошин А.В. “Піфагор”. – М., 1993.

6. Пічурін Л.Ф. “За сторінками підручника алгебри”. – М., 1990.

7. Земляков О.М. «Геометрія у 10 класі». – М., 1986.

8. Газета “Математика” 17/1996.

9. Газета “Математика” 3/1997.

10. Антонов Н.П., Вигодський М.Я., Нікітін В.В., Санкін А.І. «Збірник задач з елементарної математики». – М., 1963.

11. Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Посібник з математики». – М., 1973.

12. Щетніков А.І. «Піфагорійське вчення про число та величину». – Новосибірськ, 1997.

13. «Дійсні числа. Ірраціональні висловлювання» 8 клас. Видавництво Томського Університету. – Томськ, 1997.

14. Атанасян М.С. “Геометрія” 7-9 клас. – М.: Просвітництво, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Цього навчального року я познайомилися з цікавою теоремою, відомою, як виявилося з найдавніших часів:

“Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах”.

Зазвичай відкриття цього твердження приписують давньогрецькому філософу та математику Піфагору (VI століття до н.е.). Але вивчення стародавніх рукописів показало, що це твердження було відоме задовго до народження Піфагора.

Я зацікавилися, чому її зв’язують з ім’ям Піфагора.

Актуальність теми: Теорема Піфагора має велике значення: застосовується у геометрії буквально на кожному кроці. Я вважаю, що праці Піфагора досі актуальні, адже куди б ми не подивилися, скрізь можна побачити плоди його великих ідей, втілені у різні галузі сучасного життя.

Метою мого дослідження було: дізнатися, хто такий був Піфагор і яке відношення він має до цієї теореми.

Вивчаючи історію теореми, я вирішила з’ясувати:

Чи є інші докази цієї теореми?

Яке значення цієї теореми у житті людей?

Яку роль зіграв Піфагор у розвитку математики?

З біографії Піфагора

Піфагор Самоський – великий грецький вчений. Його популярність пов’язана із назвою теореми Піфагора. Хоча зараз ми знаємо, що ця теорема була відома в стародавньому Вавилоні за 1200 років до Піфагора, а в Єгипті за 2000 років до нього був відомий прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5, ми як і раніше називаємо її на ім’я цього давнього вченого.

Про життя Піфагора майже нічого невідомо, але з його ім’ям пов’язано велика кількістьлегенд.

Піфагор народився в 570 році до н.е. на острові Самос.

Піфагор мав гарну зовнішність, носив довгу бороду, а на голові – золоту діадему. Піфагор – це не ім’я, а прізвисько, яке філософ отримав за те, що завжди говорив вірно та переконливо, як грецький оракул. (Піфагор – «переконуючий мовою»).

У 550 році до н.е. Піфагор приймає рішення і вирушає до Єгипту. Отже, перед Піфагором відкривається невідома країна та невідома культура. Багато чого вражало і дивувало Піфагора у цій країні, і після деяких спостережень за життям єгиптян Піфагор зрозумів, що шлях до знань, що охороняються кастою жерців, лежить через релігію.

Після одинадцяти років навчання в Єгипті Піфагор вирушає на батьківщину, де по дорозі потрапляє до вавилонського полону. Там він знайомиться з вавилонською наукою, яка була більш розвинена, ніж єгипетська. Вавилонці вміли вирішувати лінійні, квадратні та деякі види кубічних рівнянь. Втікши з полону, він не зміг довго залишатися на батьківщині через атмосферу насильства і тиранії, що там панувала. Він вирішив переселитися до Кротона (грецька колонія на півночі Італії).

Саме в Кротон починається найславетніший період у житті Піфагора. Там він заснував щось на кшталт релігійно-етичного братства чи таємного чернечого ордена, члени якого зобов’язувалися вести так званий піфагорійський спосіб життя.

Піфагор та піфагорійці

Піфагор організував у грецькій колонії Півдні Апенінського півострова релігійно-етичне братство, типу чернечого ордену, який згодом назвуть піфагорійським союзом. Члени союзу повинні були дотримуватися певних принципів: по-перше, прагнути прекрасного і славного, по-друге, бути корисними, по-третє, прагнути високої насолоди.

p align=”justify”> Система морально-етичних правил, заповідана Піфагором своїм учням, була зібрана в своєрідний моральний кодекс піфагорійців “Золоті вірші”, які користувалися великою популярністю в епоху Античності, епоху Середньовіччя та епоху Відродження.

Піфагорійська система занять складалася з трьох розділів:

Вчення про числа – арифметику,

Вчення про фігури – геометрії,

Вчення про будову Всесвіту – астрономії.

Система освіти, закладена Піфагором, проіснувала багато століть.

Школа Піфагора багато зробила, щоб надати геометрії характеру науки. Основною особливістю методу Піфагор було об’єднання геометрії з арифметикою.

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями і, ймовірно, подобою фігур, тому що йому приписують розв’язання задачі: «За цими двома фігурами побудувати третю, рівновелику одній з даних і подібну до другої».

Піфагор та його учні ввели поняття про багатокутні, дружні, досконалі числа і вивчали їх властивості. Арифметика як практика обчислень не цікавила Піфагора, і він з гордістю заявив, що «поставив арифметику вище за інтереси торговця».

Членами союзу піфагорійського були жителі багатьох міст Греції.

У своє суспільство піфагорійці приймали і жінок. Союз процвітав понад двадцять років, а потім почалися гоніння на його членів, багато хто з учнів був убитий.

Про смерть самого Піфагора ходило багато різних легенд. Але вчення Піфагора та його учнів продовжувало жити.

З історії створення теореми Піфагора

Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що саме Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх “Початків”. З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у «Початках» належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних конкретних даних про життя Піфагора та його математичної діяльності.

Історичний огляд теореми Піфагора почнемо з давнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з’єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4».

Дуже легко можна відтворити їхній спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м. і прив’яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув’язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри.

Геометрія в індусів була пов’язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 8 століття до нашої ери. Поряд із суто ритуальними розпорядженнями, існують і твори геометрично-теологічного характеру. У цих творах, що належать до 4 або 5 століття до нашої ери, ми зустрічаємося з побудовою прямого кута за допомогою трикутника зі сторонами 15, 36, 39.

У середні віки теорема Піфагора визначала кордон, а то й найбільших можливих, то, по крайнього заходу, хороших математичних знань. Характерний креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, на одягненого в мантію професора або людини циліндрі, в ті часи нерідко вживався як символ математики.

На закінчення наведемо різні формулювання теореми Піфагора у перекладі з грецької, латинської та німецької мов.

Евкліда ця теорема каже (дослівний переклад):

“У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут”.

Як бачимо, у різних країнах та різних мовах існують різні варіанти формулювання знайомої нам теореми. Створені в різний час і в різних мовах, вони відображають суть математичної закономірності, доказ якої також має кілька варіантів.

П’ять способів доказу теореми Піфагора

На давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетами a, b і гіпотенузою з укладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною a + b, а внутрішній – квадрат зі стороною с, побудований на гіпотенузі

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказ Дж. Гардфілда (1882)

Розташуємо два рівні прямокутні трикутники так, щоб катет одного з них був продовженням іншого.

Площа аналізованої трапеції перебуває як добуток напівсуми підстав на висоту

З іншого боку, площа трапеції дорівнює сумі площ отриманих трикутників:

Прирівнюючи дані висловлювання, отримуємо:

Цей доказ виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника.

Ймовірно, з нього починалася теорема.

Насправді досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників, щоб переконатися в справедливості теореми.

Наприклад, для трикутника АВС: квадрат, побудований на гіпотенузі АС, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах, – по два. Теорему доведено.

Доказ давніх індусів

Квадрат зі стороною (a + b) можна розбити на частини або як на рис. 12. а, або як на рис. 12, б. Зрозуміло, що частини 1, 2, 3, 4 на обох малюнках однакові. Якщо ж від рівних (площ) відібрати рівні, те й залишаться рівні, тобто. с2 = а2 + b2.

Протягом двох тисячоліть найпоширенішим був доказ теореми Піфагора, який вигадав Евклід. Воно вміщено у його знаменитій книзі «Початки».

Евклід опускав висоту ВН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить добудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах.

Креслення, що застосовується при доказі цієї теореми, жартома називають «піфагорові штани». Протягом тривалого часу він вважався одним із символів математичної науки.

Застосування теореми Піфагора

Значення теореми Піфагора у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії і розв’язати безліч завдань. Крім цього, практичне значення теореми Піфагора та зворотної теореми полягає в тому, що з їх допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи самих відрізків. Це ніби відкриває шлях від прямої до площини, від площини до об’ємного простору і надалі. Саме з цієї причини теорема Піфагора така важлива для людства, яке прагне відкривати все більше вимірів і створювати технології в цих вимірах.

Теорема Піфагора настільки відома, що важко уявити собі людину, яка не чула про неї. Я дізналася, що є кілька способів доказу теореми Піфагора. Я вивчила низку історичних та математичних джерел, у тому числі інформацію в Інтернеті, і зрозуміла, що теорема Піфагора цікава не лише своєю історією, а й тим, що вона займає важливе місце у житті та науці. Про це свідчать наведені мною у цій роботі різні трактування тексту цієї теореми та шляхи її доказів.

Отже, теорема Піфагора – одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова і тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, не побачиш, що між його сторонами є просте співвідношення: c2 = a2 + b2. Тому на її докази часто використовують наочність. Заслуга Піфагора полягала в тому, що він дав повноцінний науковий доказ цієї теореми. Цікава особистість самого вченого, пам’ять якого невипадково зберегла ця теорема. Піфагор – чудовий оратор, вчитель та вихователь, організатор своєї школи, орієнтованої на гармонію музики та чисел, добра та справедливості, на знання та здоровий спосіб життя. Він цілком може бути прикладом для нас, далеких нащадків.

Бібліографічне посилання

Туманова С.В. КІЛЬКА СПОСІБІВ ДОКАЗУ ТЕОРЕМИ ПІФАГОРА // Старт у науці. – 2016. – № 2. – С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата звернення: 21.02.2019).

Тим, хто цікавиться історією теореми Піфагора, яку вивчають у шкільній програмі, буде також цікавий такий факт, як публікація у 1940 році книги з трьохсот сімдесятьма доказами цієї, здавалося б, простої теореми. Але вона інтригувала уми багатьох математиків та філософів різних епох. У книзі рекордів Гіннеса вона зафіксована як теорема з найбільшою кількістю доказів.

Історія теореми Піфагора

Пов’язана з ім’ям Піфагора теорема була відома задовго до народження великого філософа. Так було в Єгипті, під час будівництва споруд, враховувалося співвідношення сторін прямокутного трикутника п’ять тисячоліть тому. У вавилонських текстах згадується все те ж співвідношення сторін прямокутного трикутника за 1200 років до народження Піфагора.

Виникає питання, чому тоді говорить історія – виникнення теореми Піфагора належить йому? Відповідь може бути лише одна – він довів співвідношення сторін у трикутнику. Він зробив те, що століття тому не робили ті, хто просто користувався співвідношенням сторін та гіпотенузи, встановленим досвідченим шляхом.

З життя Піфагора

Майбутній великий учений, математик, філософ народився на острові Самос у 570 році до нашої ери. Історичні документи зберегли відомості про отця Піфагора, який був різьбяр по дорогоцінному камінню, а ось про матір відомостей немає. Про хлопчика, що народився, говорили, що це неабияка дитина, що проявила з дитячого віку пристрасть до музики і поезії. До вчителів юного Піфагора історики відносять Гермодаманта та Ферекіда Сіросського. Перший ввів хлопчика у світ муз, а другий, будучи філософом та засновником італійської школи філософії, направив погляд юнака до логосу.

У 22 роки від народження (548 р. до н. е.) Піфагор відправився в Навкратіс для вивчення мови та релігії єгиптян. Далі його шлях лежав у Мемфіс, де завдяки жерцям, пройшовши через їх хитромудрі випробування, він спіткав єгипетську геометрію, яка, можливо, наштовхнула допитливого юнака на доказ теореми Піфагора. Історія надалі припише теоремі саме це ім’я.

У полоні царя Вавилона

Дорогою додому в Елладу, Піфагор потрапляє у полон царя Вавилона. Але знаходження в полоні принесло користь допитливому розуму математика-початківця, йому було чому повчитися. Адже в ті роки математика у Вавилоні була більш розвиненою, ніж у Єгипті. Дванадцять років він провів за вивченням математики, геометрії та магії. І, можливо, саме вавилонська геометрія причетна до доказу співвідношення сторін трикутника та історії відкриття теореми. У Піфагора було цього достатньо отриманих знань і часу. Але що це сталося у Вавилоні, документального підтвердження чи спростування тому немає.

У 530 р. до н. Піфагор біжить із полону на батьківщину, де живе при дворі тирана Полікрата у статусі напівраба. Таке життя Піфагора не влаштовує, і він віддаляється в печери Самоса, а потім вирушає на південь Італії, де на той час була грецька колонія Кротон.

Таємний чернечий орден

На основі цієї колонії Піфагор організував таємний чернечий орден, що представляв собою релігійний союз та наукове суспільство одночасно. Це суспільство мало свій статут, у якому йшлося про дотримання особливого способу життя.

Піфагор стверджував, щоб зрозуміти Бога, людина повинна пізнати такі науки як алгебра та геометрія, знати астрономію та розуміти музику. Дослідницька робота зводилася до пізнання містичного боку чисел та філософії. Слід зазначити, що проповідовані тоді Піфагором принципи, мають сенс у наслідуванні й у час.

Багато відкриттів, які робили учні Піфагора, приписувалися йому. Проте, якщо говорити коротко, історія створення теореми Піфагора давніми істориками та біографами того часу пов’язується безпосередньо з ім’ям цього філософа, мислителя та математика.

Вчення Піфагора

Можливо, на думку про зв’язок теореми з ім’ям Піфагора наштовхнуло істориків висловлювання великого грека, що у горезвісному трикутнику з його катетами та гіпотенузою зашифровано всі явища нашого життя. А цей трикутник є “ключом” до вирішення всіх проблем, що виникають. Великий філософ говорив, що слід побачити трикутник, тоді вважатимуться, що завдання дві третини вирішена.

Про своє навчання Піфагор розповідав тільки своїм учням усно, не роблячи жодних записів, тримаючи його в таємниці. На превеликий жаль, вчення найбільшого філософа не збереглося до наших днів. Щось із нього просочилося, але не можна сказати скільки істинного, а скільки помилкового в тому, що стало відомо. Навіть із історією теореми Піфагора не все безперечно. Історики математики сумніваються в авторстві Піфагора, на їхню думку теорема користувалися за багато століть до його народження.

теорема Піфагора

Може здатися дивним, але історичних фактів доказу теореми самим Піфагором немає — ні в архівах, ні в інших джерелах. У сучасній версії вважається, що воно належить нікому іншому, як самому Евкліду.

Є докази одного з найбільших істориків математики Моріца Кантора, який виявив на папірусі, що зберігається в Берлінському музеї, записане єгиптянами приблизно в 2300 до н. е. рівність, яка гласила: 3? + 4? = 5?.

Коротко з історії теореми Піфагора

Формулювання теореми з евклідових “Початків”, у перекладі звучить також як і в сучасній інтерпретації. Нового в її прочитанні немає: квадрат сторони, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів сторін, прилеглих до прямого кута. Про те, що теоремою користувалися давні цивілізації Індії та Китаю, підтверджує трактат “Чжоу – бі суань цзінь”. Він містить відомості про єгипетський трикутник, в якому описано співвідношення сторін як 3:4:5.

Не менш цікавою є ще одна китайська математична книга «Чу-пей», в якій також згадується про піфагоровий трикутник з поясненням і малюнками, що збігаються з кресленнями індуської геометрії Басхари. Про самому трикутнику в книзі написано, що якщо прямий кут можна розкласти на складові частини, тоді лінія, яка з’єднує кінці сторін, дорівнюватиме п’яти, якщо основа дорівнює трьом, а висота дорівнює чотирьом.

Індійський трактат “Сульва сутра”, що відноситься приблизно до VII-V століть до н. е., розповідає про побудову прямого кута за допомогою єгипетського трикутника.

Доказ теореми

У середні віки учні вважали доказ теореми надто складною справою. Слабкі учні заучували теореми напам’ять, без розуміння сенсу доказу. У зв’язку з цим вони отримали прізвисько “осли”, тому що теорема Піфагора була для них непереборною перешкодою, як для осла міст. У середні віки учні придумали жартівливий вірш щодо цієї теореми.

Щоб довести теорему Піфагора найлегшим шляхом, слід просто виміряти його сторони, не використовуючи в доказі поняття про площі. Довжина сторони, що протилежить прямому куту – це c, а прилеглі до нього a та b, в результаті отримуємо рівняння: a 2 + b 2 = c 2 . Дане твердження, як говорилося вище, перевіряється шляхом виміру довжин сторін прямокутного трикутника.

Якщо почати доказ теореми з розгляду площі прямокутників, побудованих на сторонах трикутника, можна визначити площу всієї фігури. Вона дорівнює площі квадрата зі стороною (a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

c 2 = a 2 + b 2 що і потрібно довести.

Практичне значення теореми Піфагора у тому, що з допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи їх. При будівництві споруд розраховуються відстані, розміщення опор та балок, визначаються центри важкості. Застосовується теорема Піфагора та у всіх сучасних технологіях. Не забули про теорему і під час створення кіно в 3D-6D-вимірюваннях, де крім звичних нам 3-х величин: висоти, довжини, ширини – враховуються час, запах та смак. Як пов’язані з теоремою смаки та запахи – запитаєте ви? Все дуже просто – при показі фільму потрібно розрахувати, куди і які запахи та смаки спрямовувати у залі для глядачів.

Чи то ще буде. Безмежний простір для відкриття та створення нових технологій чекає допитливі уми.

В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожної освіченої людини, але достатньо лише попросити когось її довести, і тут можуть виникнути складнощі. Тому давайте згадаємо і розглянемо різні методи підтвердження теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, яка справила її на світ, не така популярна. Це можна виправити. Тому як вивчити різні методи підтвердження теореми Піфагора, необхідно коротко познайомитися з його особистістю.

Піфагор – філософ, математик, мислитель родом із Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, що склалися на згадку про цю велику людину. Але, як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.

Судячи з легенди, поява світ Піфагора передбачила жінка на ім’я Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророцтвом народжений хлопчик мав принести багато користі та добра людству. Що взагалі він і зробив.

Народження теореми

У юності Піфагор переїхав з Єгипту, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де й пізнав усі великі здобутки єгипетської філософії, математики та медицини.

Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю та красою пірамід та створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив своєї теорії. А лише передав своє знання послідовникам, які пізніше завершили всі необхідні математичні обчислення.

Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доказу цієї теореми, а відразу кілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме древні греки робили свої обчислення, тому розглянемо тут різні способи доказу теореми Піфагора.

теорема Піфагора

Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з’ясувати, яку теорію доведеться довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один із кутів дорівнює 90 о, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».

Усього існує 15 різних способів доказу теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим із них.

Спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані поширюватимуться і інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам’ятати всі наявні позначення.

Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб доказу полягає в тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.

Щоб це зробити, потрібно до катета довжиною а домалювати відрізок рівний катету, і навпаки. Так має вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.

Усередині фігури, що вийшла, потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівної гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельні відрізки рівних с. Таким чином, вийде три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише докреслити четвертий відрізок.

На підставі малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутні трикутники. Площа кожного дорівнює 0,5 ав.

Тому площа дорівнює: 4*0,5ав+с2 =2ав+с2

Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2

І, отже, з 2 = а 2 + 2

Спосіб два: подібні трикутники

Ця формула доказу теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. Воно говорить, що катет прямокутного трикутника – середнє пропорційне для його гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.

Вихідні дані залишаються ті ж, тому почнемо одразу з доказу. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок ЦД. Грунтуючись на вищеописаному твердженні катети трикутників рівні:

Щоб відповісти на питання, як довести теорему Піфагора, підтвердження потрібно прокласти зведенням у квадрат обох нерівностей.

АС 2 = АВ * АД і СВ 2 = АВ * ДВ

Тепер потрібно скласти нерівності.

АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), де АД + ДВ = АВ

АС 2 + СВ 2 = АВ * АВ

АС 2 + СВ 2 = АВ 2

Доказ теореми Піфагора та різні способи її вирішення потребують різнобічного підходу до цього завдання. Однак цей варіант є одним із найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доказу теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, до тих пір поки самостійно не приступиш до практики. Багато методик передбачають як математичні розрахунки, а й побудова з вихідного трикутника нових постатей.

У разі необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутники із загальним катетом ПС.

Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:

S авс * з 2 – S авд *в 2 =S авд *а 2 – S всд *а 2

S авс *(з 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S нд)

Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доказу теореми ще у Стародавній Греції. Він є найпростішим, тому що не вимагає абсолютно жодних розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + 2 = с 2 буде видно наочно.

Умови для цього способу трохи відрізнятимуться від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС є рівнобедреним.

Гіпотенузу АС приймаємо за бік квадрата та докреслюємо три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в квадраті, що вийшов. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутники.

До катет АВ і СВ так само потрібно докреслити по квадрату і провести по одній діагональній прямій у кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу – із З.

Тепер потрібно уважно вдивитися в малюнок, що вийшов. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідному, а на катетах по два, це говорить про правдивість цієї теореми.

До речі, завдяки цій методиці доказу теореми Піфагора і з’явилася світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі боки рівні».

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоуком.

На початку своєї кар’єри він був звичайним викладачем у народній школі, але незабаром став директором одного з вищих навчальних закладів. Прагнення саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доказу теореми Піфагора. Теорема та приклад її вирішення виглядає так.

Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутні трикутники таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з’єднати, щоб зрештою вийшла трапеція.

Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

Якщо розглянути трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так:

Тепер необхідно зрівняти два вихідні вирази

Про теорему Піфагора та способи її доказу можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, у сучасних шкільних програмах передбачено використання цієї теореми лише у геометричних завданнях. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання та вміння на практиці.

Насправді ж використовувати теорему Піфагора у своїй повсякденному життіможе кожен. Причому не лише у професійній діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора та засоби її доказу можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв’язок теореми та астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов’язані зірки та трикутники на папері. Астрономія – це наукова сфера, в якій широко використовується теорема Піфагора.

Наприклад, розглянемо рух світлового променя у космосі. Відомо, що світло рухається обидві сторони з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідно світлу, щоб потрапити з точки А до точки Б, назвемо t. І швидкість променя – c. Виходить що: c*t=l

Якщо подивитися на цей промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тіл їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи рухатимуться зі швидкістю v у зворотному напрямку.

Допустимо, комічний лайнер пливе вправо. Тоді точки А і В, між якими кидається промінь, рухатимуться вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А до точки В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде до нової точки С. Щоб знайти половину відстані, на яку змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t “).

А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:

Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер – це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яка змогла пройти промінь світла.

Цей приклад, звичайно, не найуспішніший, тому що тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без смартфонів. Але чи багато було б від них користі, якби вони не могли з’єднувати абонентів за допомогою мобільного зв’язку?!

Якість мобільного зв’язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті знаходиться антена мобільного оператора. Для того, щоб обчислити, яку відстань від мобільної вежі телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.

Допустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вежі, щоб вона могла поширювати сигнал у радіусі 200 кілометрів.

АВ (висота вежі) = х;

НД (радіус передачі сигналу) = 200 км;

ОС (радіус земної кулі) = 6380 км;

Застосувавши теорему Піфагора, з’ясуємо, що мінімальна висота вежі має становити 2,3 кілометри.

Теорема Піфагора у побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може бути корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки за допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно.

Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і по висоті, і діагоналі приміщення.

Припустимо, є шафа-купе завглибшки 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо з прикладу.

При ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:

АС = √2474 2 +800 2 =2600 мм – все сходиться.

Допустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Отже, ця шафа не підійде для встановлення у цьому приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.

Мабуть, розглянувши різні методи підтвердження теореми Піфагора різними вченими, можна дійти невтішного висновку, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути цілком упевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисними, а й вірними.

Рекомендуємо також

4.4: Теорема про середнє значення

Зверніть увагу, що доводити випадок \(x_2 < x_1\) непотрібно (чому?).
Ця нерівність є узагальненням тієї ж нерівності для \(0 \le x_1, x_2 < 1\) в релятивістському законі додавання швидкості з теорії спеціальної \(v_1\) відносності: якщо об’єкт 1 має швидкість щодо системи відліку \(F\) , а якщо об’єкт 2 має швидкість \(v_2\) щодо об’єкта 1, так що \(x_1 = v_1/c\) і \(x_2 = v_2/c\) представляють собою частки \(c\) швидкості світла, з якою рухаються об’єкти, то частка швидкості світла, з якою об’єкт 2 рухається по відношенню до \(F\) \(x = (x_1 + x_2)/(1 + x_1 x_2)\) . Так що повинно бути правдою \(0 \le x < 1\) , так як ніщо не може рухатися швидше, ніж швидкість світла.

Recommended articles

1. Article type Section or Page License GNU GPL Show Page TOC No on Page
2. Tags
   1. authorname:mcorral
   2. source[translate]-math-54784

   Підручник Геометрія 7 клас – Бевз Г.П. – Відродження 2015 рік

   Ви вже маєте уявлення про теореми. Теорема — це твердження, в істинності якого переконуються за допомогою логічних міркувань, доведень.

   Звичайно теорема містить умову (те, що дано) і висновок (що вимагається довести). Щоб виокремити умову і висновок теореми, її зручно подати у формі «Якщо…, то…». Наприклад:

   «Якщо кути вертикальні, то вони рівні». Тут слова перед комою виражають умову теореми, а після коми — висновок.

   Часто умову теореми записують після слова «дано», а висновок — після слова «довести».

   Наприклад, теорему про вертикальні кути (мал. 108) можна оформити так.

   Дано: ∠AOD, ∠ВОС — вертикальні кути.

   Довести: ∠AOD = ∠ВОС.

   ∠AОВ = 180° – ∠AОВ (∠AОВ і ∠AОВ — суміжні),

   ∠BOC = 180° – ∠AOB (∠BOC і ∠AОВ — суміжні).

   Помінявши умову і висновок теореми місцями, одержимо нове твердження (істинне або хибне). Якщо одержане таким способом твердження істинне, його називають теоремою, оберненою до даної. Наведемо приклад.

   1. «Якщо кути вертикальні, то вони — рівні» — дана теорема. «Якщо кути рівні, то вони — вертикальні» — обернене твердження. Оскільки це твердження хибне, то воно не є теоремою.

   2. «Якщо відповідні кути рівні, то прямі — паралельні» — дана теорема. «Якщо прямі паралельні, то відповідні кути — рівні» — теорема, обернена до даної.

   Найважливіші теореми, у яких подано критерії чого-небудь, називають ознаками.

   Доводячи теорему, показують, що вона випливає з інших істинних тверджень. Однак на початку вивчення геометрії ще ніяких «інших істинних тверджень» немає. Тому кілька перших тверджень зазвичай приймають без доведень. Їх називають аксіомами.

   Деякі аксіоми вам уже відомі. Сформулюємо їх ще раз.

   ✵ Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що їй не належать.

   ✵ Через будь-які дві різні точки можна провести пряму, і тільки одну.

   ✵ Із трьох точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.

   ✵ Кожний відрізок має певну довжину.

   ✵ Кожний кут має певну міру.

   ✵ Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній.

   Від теорем і аксіом слід відрізняти означення, у яких розкривається зміст поняття. Наприклад: «Відрізком називається частина прямої, обмежена двома її точками» — означення відрізка; «Гострим кутом називається кут, менший від прямого» — означення гострого кута.

   В означеннях, аксіомах і теоремах — основний зміст геометрії, їх треба знати, але формулювати (правильно!) можна і своїми словами. Наприклад, означення відрізка можна формулювати й так: «Відрізок — це частина прямої, обмежена двома її точками» або так: «Частину прямої, обмежену двома її точками, називають відрізком».

   1. Слово аксіома — грецького походження. Спочатку це слово означало: повага, авторитет, незаперечність. Згодом словом «аксіома» стали називати твердження, яке приймається без обґрунтування.

   2. Слово теорема також грецького походження. Спочатку теоремою називали видовище, театральну виставу. Першим геометрам доведені ними теореми здавалися досить несподіваними, дивними, мов цікаві видовища. І справді дивно: з небагатьох примітивних тверджень, які приймаються без доведень, шляхом самих міркувань, людина може отримати мільйони неочевидних наслідків. Навіть таких, які в природі не можна спостерігати. І таких, про існування яких не здогадувався жоден мислитель.

   3. Щоб і ви зрозуміли, яке задоволення відчували перші геометри, відкриваючи і доводячи все нові й нові властивості геометричних фігур за допомогою самих лише міркувань, спробуйте відповісти на одне з таких запитань.

   Подивіться на малюнок 109. На ньому виділено 6 точок: середини сторін трикутника ABC і основи його висот. Здається, усі ці точки лежать на одному колі. Чи справді це так?

   Чи в кожному трикутнику? Хто першим виявляв подібні закономірності й обґрунтовував їх, той відчував велике задоволення, немов мандрівник, який першим прийшов туди, де жодна інша людина ще не бувала, або спортсмен, який побив світовий рекорд.

   Запитання і завдання для самоконтролю

   1. Що таке теорема? Наведіть приклади теорем.

   2. Що таке аксіома? Наведіть приклади аксіом.

   3. Що таке означення? Наведіть приклади означень.

   4. Яке твердження називають теоремою, оберненою до даної?

   5. Що таке ознака?

   1. Бісектриси внутрішніх різносторонніх кутів, утворених січною з двома паралельними прямими, паралельні одна одній. Доведіть. Сформулюйте обернене твердження.

   – Нехай ВС — січна прямих АВ і CD, кути ABC і BCD — внутрішні різносторонні, а ВК і СР — їх бісектриси (мал. 110). Покажемо, що коли АВ ‖ CD, то ВК ‖ СР.

   Якщо АВ ‖CD, то ∠ABC = ∠BCD (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих). Половини рівних кутів — рівні, тому ∠KBC = ∠ВСР. Ці кути — внутрішні різносторонні для прямих КВ і СР та січної ВС. Оскільки ці кути рівні, то прямі КВ і СР — паралельні.

   А це й треба було довести.

   Обернене твердження: якщо бісектриси внутрішніх різносторонніх кутів, утворених двома прямими з їх січною, — паралельні, то паралельні й дані прямі.

   2. Два промені називають співнапрямленими, якщо один із них є частиною другого або якщо вони паралельні й розміщені по один бік від прямої, що проходить через їх початки. Наведіть приклади.

   – Наприклад, промені АК і ВК (мал. 111), а також промені АК і ВТ (мал. 112).

   3. Доведіть, що кути із співнапрямленими сторонами рівні.

   – Доведемо, що коли промені ВА і РК, ВС і РТ — співнапрямлені, то кути 1 і 2 — рівні.

   Якщо дані кути розміщені, як показано на малюнку 113, то ∠1 = ∠3 і ∠3 = ∠2. Отже, ∠1 = ∠2.

   Якщо дані кути розміщені, як показано на малюнку 114, то промінь РТ становить частину променя ВС. У цьому випадку ∠1 = Z 2 як відповідні кути при паралельних прямих ВА і РК.

   ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

   225. Сформулюйте означення:

   а) вертикальних кутів; б) суміжних кутів.

   226. Сформулюйте аксіоми про розміщення точок на прямій.

   227. Сформулюйте аксіоми про вимірювання відрізків.

   228. Сформулюйте аксіому Евкліда про паралельність прямих.

   229. Чи через кожні три точки можна провести пряму? Чи існують три точки, через які можна провести пряму?

   230. Чи існують 4 точки, через які можна провести пряму?

   231. Сформулюйте ознаку подільності натуральних чисел на 3. Як її можна сформулювати інакше?

   232. Яке з тверджень правильне:

   а) «Якщо кожне з двох натуральних чисел ділиться на 10, то і їх сума ділиться на 10»;

   б) «Якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то кожне з них ділиться на 10»?

   233. Сформулюйте теорему про суміжні кути. Подайте її у формі« Якщо…, то…». Зазначте її умову і висновок.

   234. Сформулюйте теорему про дві прямі, паралельні третій. Запишіть її за допомогою математичних символів.

   235. Які з даних тверджень — істинні:

   а) «Якщо кути рівні, то вони вертикальні»;

   б) «Якщо кути не вертикальні, то вони не рівні»;

   в) «Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні»?

   236. Сформулюйте твердження, обернене до теореми 1. Чи можна вважати його теоремою? Чому?

   237. Сформулюйте твердження, обернене до теореми 5. Чи є воно теоремою?

   238. Дивлячись на малюнок 115, учень міркує: «Якщо АВ ‖ КР і ВС ‖ РТ, то ∠1 = ∠3 = ∠2.

   Отже, кути з відповідно паралельними сторонами — рівні». Чи правильно він міркує? Розгляньте інші можливі випадки.

   239. Чи можна вважати правильними такі означення:

   а) «Бісектрисою кута називають пряму, яка ділить цей кут навпіл»;

   б) «Бісектрисою кута називають промінь, який ділить цей кут на рівні частини»?

   240. Прочитайте три перші абзаци § 3 «Кути і їх міри». Чи є в них означення? Сформулюйте одне з них.

   241. Сформулюйте означення паралельних прямих. Чи можна слова «на площині» опустити? Чому?

   242. Яке з тверджень правильне:

   а) « Якщо кожне з трьох натуральних чисел ділиться на 5, то їх сума також ділиться на 5»;

   б) «Якщо сума трьох натуральних чисел ділиться на 5, то кожне з них ділиться на 5 » ?

   243. Доведіть, що кут між бісектрисами двох вертикальних кутів— розгорнутий. Сформулюйте і доведіть аналогічне твердження про бісектриси двох суміжних кутів.

   244. Сформулюйте словами і доведіть твердження:

   а) якщо а ‖ b і b ‖ с, то а ‖ с;

   б) якщо а ⏊ b і b ⏊ с, то а ‖ с.

   Чи правильні ці твердження, якщо прямі а, b і с не лежать в одній площині?

   245. Доведіть, що:

   а) якщо кут А дорівнює куту В, а кут В дорівнює куту С, то кути А і С дорівнюють один одному;

   б) якщо відрізок АВ дорівнює відрізку КР, а КР дорівнює відрізку МТ, то відрізок АВ дорівнює відрізку МТ.

   246. Чи правильні твердження:

   а) «Якщо кут А суміжний з кутом В, а кут В суміжний з кутом С, то кути А і С — суміжні»;

   б) «Якщо кут А вертикальний з кутом В, а кут В вертикальний з кутом С, то кути А і С — також вертикальні»;

   в) « Якщо прямі а і с лежать в одній площині і прямі с і n лежать в одній площині, то прямі а і n також лежать в одній площині»?

   247. Паралельні залізничні рейки, промені сонця та багато інших моделей прямих на фотографіях і картинах часто зображають у вигляді непаралельних прямих (мал. 116). Наведіть приклади зображень, на яких непаралельні прямі мають вигляд паралельних.

   248. Доведіть, що січна, перетинаючи паралельні прямі, утворює з ними:

   а) рівні зовнішні різносторонні кути;

   б) зовнішні односторонні кути, які в сумі становлять 180°.

   249. Доведіть, що кути з відповідно перпендикулярними сторонами рівні або в сумі становлять 180°.

   ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

   250. Скільки існує на прямій точок, які лежать між даними її точками А і В?

   251. На які частини пряму ділять дві її точки?

   252. Скільки різних відрізків зображено на малюнку 117? Назвіть їх.

   253. Скількома різними ламаними можна сполучити дві дані точки К і Р? А скількома відрізками? Скількома дугами кіл?

   254. Дюйм — це 2,5 см. Скільки квадратних сантиметрів має квадратний дюйм?

   Геометрія навколо нас

   ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ