Все, що потрібно знати про синус кута – пояснення, формули та приклади

Коли мова йде про тригонометрію, синус кута є однією з найбільш основних функцій. Синус кута використовується в багатьох різних математичних дисциплінах, включаючи геометрію, фізику, інженерію, тощо.

У цій статті ми детально розглянемо, що таке синус кута, його властивості, формули та приклади використання.

Що таке синус кута?

Перед тим, як перейти до обчислення синуса кута, давайте спочатку зрозуміємо, що це за функція і як її визначити. Синус кута – це відношення протилежного катета до гіпотенузи прямокутного трикутника.

Іншими словами, якщо у вас є прямокутний трикутник ABC з кутом BAC який дорівнює α, то синус кула α дорівнює довжині протилежного катета BC, розділеної на довжину гіпотенузи AB:

Зауваження: якщо позначити довжину сторін AB, BC та AC трикутника ABC буквами c, a і b відповідно, то формула синуса кута перепишуться у більш зручному для використання вигляді:

Синуси загальних спеціальних кутів.

Значення синусів найважливіших кутів можна знайти за допомогою пропорцій спеціальних трикутників. Для знаходження значення синуса 45° використаємо рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого кути рівні 45°, 45° та 90°.

У прямокутному трикутнику ми можемо скористатися теоремою Піфагора: AB 2 =BC 2 +AC 2 . Однак у випадку трикутника 45°–45°–90° ми маємо BC=AC, тому теорема Піфагора перепишеться в дещо іншому вигляді: AB 2 =2·BC 2 .

Розв’язуючи, маємо AB=BC·√2. Використовуючи це, ми визначаємо, що і синус, і косинус 45° дорівнюють 1/√2=√2/2.

Ми також можемо використовувати трикутник 30°–60°–90°, щоб знайти значення синуса 30° і 60°. Пропорції сторін цього трикутника такі: 1:√3:2. Використовуючи ці пропорції, ми маємо sin(30°)=cos(60°)=1/2, а також маємо sin(60°)=cos(30°)=√3/2.​

Властивості синуса кута.

Синус кута має кілька властивостей, які важливі при його використанні:

• обмеження значень синусу: значення синусу кута завжди лежить в межах від -1 до 1. Це означає, що синус кута ніколи не може бути меншим за -1 або більшим за 1. Ця властивість дозволяє нам обмежити діапазон можливих значень синусу;
• періодичність функції синусу: синус кута є періодичною функцією з періодом 2·π. Це означає, що значення синусу повторюються з однаковою частотою при збільшенні або зменшенні кута на кратні 2·π. Наприклад, sin(0)=sin(2·π)=sin(4·π)= 0;
• симетрія синусоїди: графік функції синусу має симетричну форму відносно початку координат. Це означає, що якщо значення синусу кута дорівнює sin(α), то значення синусу протилежного кута буде -sin(α). Наприклад, sin(30°)=0.5, а sin(-30°)=-0.5.

Обчислення синуса кута – приклади з відоповідями.

Наступні приклади вирішуються з використанням вивченого про синус кута. Кожен приклад має відповідне розв’язання, але рекомендується спробувати вирішити задачі самостійно, перед тим як переглядати рішення.

Приклад 1: обчислити синус кута, якщо протилежний катет дорівнює 3, а гіпотенуза 5.

Отже, за формулою синуса для прямокутного трикутника маємо:

Таким чином, синус кута дорівнює 0.6.

Приклад 2: обчислити синус кута, якщо прилеглий катет дорівнює 4, а гіпотенуза 5.

Цей приклад подібний до попереднього, з тією різницею, що спочатку потрібно, за теоремою Піфагора, знайти протилежний катет:

Далі, за формулою синуса для прямокутного трикутника маємо:

Отже, синус кута дорівнює 0.6.

Приклад 3: нехай маємо прямокутний трикутник з кутом α=45 градусів та гіпотенузою с=10. Знайти протилежний катет.

Щоб знайти протилежний катет a, використовуємо формулу синуса. Підставляємо відомі значення:

Звідси, протилежний катет дорівнює 7.07.

Дивіться також:

Якщо вас зацікавила тема синус кута, можливо вам буде цікаво дізнатися більше про інші тригонометричні функції та їх застосування. Ось декілька тем, які можуть бути корисними для поглиблення знань у цій галузі:

1. Синус, косинус і тангенс кута

Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Довжина відрізка \(AX\) дорівнює величині координати \(y\) точки \(A,\) а довжина відрізка \(OX\) — величині координати \(x\) точки \(A:\)

У прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета. Отже:

Використовуючи одиничне півколо та розглянену інформацію, визначимо синус, косинус і тангенс для 0 ° ; 90 ° ; 180 ° \(.\)

sin 0 ° = 0 ; cos 0 ° = 1 ; tg 0 ° = 0 sin 90 ° = 1 ; cos 90 ° = 0 ; tg 90 ° не існує sin 180 ° = 0 ; cos 180 ° = − 1 ; tg 180 ° = 0

Розглянемо обидва гострих кути в трикутнику \(AOX.\) Якщо разом вони утворюють 90 ° \(,\) то обидва виразимо через α \(:\)

Синуси прямокутних трикутників

Поняття синуса, також як і косинуса, застосовно до гострих кутах прямокутних трикутників. Синус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення катета, який протіволежіт цього кутку, до гіпотенузи. (У випадку з косинусом це було відношення прилеглого катета до гіпотенузи.) Синус позначається словом sin. У загальному випадку говорять про синусі кута альфа, або просто синусе альфа; позначається як sin α.

Оскільки катет завжди менше гіпотенузи, то синус гострого кута, також як і косинус, завжди менше одиниці.

Розглянемо прямокутний трикутник ABC.

AB – гіпотенуза, AC і BC – катети
Синус кута A дорівнює відношенню BC до AB. Але цього ж відношенню дорівнює косинус кута B. Таким чином, косинус і синус різних гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють один одному:

sin A = cos B = BC / AB
sin B = cos A = AC / AB

У прямокутному трикутнику сума двох гострих кутів становить 90º, тобто ∠A + ∠B = 90º. Ми можемо висловити кут B через A: ∠B = 90º – ∠A. Підставами цей вираз замість кута B:

sin A = cos (90º – A)
cos A = sin (90º – A)

Ці формули показують, що синус і косинус одного і того ж кута пов’язані між собою. Так як косинуси рівних кутів різних прямокутних трикутників рівні, то це ж стосується і їх синусів: якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту іншого прямокутного трикутника, то синуси цих кутів рівні.

Наприклад, якщо косинус кута A одного трикутника дорівнює косинусу кута D іншого трикутника, то відповідно синуси інших гострих кутів будуть виражатися однаково: як синуси різниці 90º і відомого кута.

Зазвичай говорять про синусі гострого кута, а не про синусі кутів прямокутного трикутника, т. К. Неважлива довжина сторін трикутника, важлива тільки величина кута.