1. Рівнобедрений трикутник. Медіана, бісектриса і висота рівнобедреного трикутника.

У задачах часто зустрічається трикутник із рівними сторонами. Такі трикутники мають особливі властивості.

На рисунку зображено рівнобедрений трикутник \(ABC\) з бічними сторонами \(AB\) \(і\) \(BC\) та основою \(AC.\)

Зазначимо, що рівносторонній трикутник також є рівнобедреним, причому будь-які дві його сторони можна вважати бічними.

Першу й другу властивості можна довести, якщо доведемо рівність двох трикутників, які утворюються, коли з протилежного до основи кута провести бісектрису \(BD.\)

\(3.\) ∠ ADB = ∠ CDB — оскільки суміжні кути, сума яких дорівнює 180 ° \(,\) рівні, то кожен із них дорівнює 90 ° \(,\) тобто медіана є висотою.

Наслідок (ознака рівностороннього трикутника)
Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Наслідок
У рівносторонньому трикутнику медіана, бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються.

На практиці для розв’язування задач замість доведеної теореми часто використовують твердження про збіг лише двох із трьох зазначених відрізків:
\(1)\) якщо в трикутнику медіана й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
\(2)\) якщо в трикутнику бісектриса й висота, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним;
\(3)\) якщо в трикутнику медіана й бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються, то такий трикутник є рівнобедреним.

Як відрізнити висоту від бісектриси

Властивість бісектриси трикутника

Трикутник є найпростішою геометричною фігурою, тому відомо багато теорем про його елементи, одним із яких є бісектриса.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до точки перетину з протилежною стороною.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — в центрі вписаного в трикутник кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам, а саме на відрізки, відношення яких дорівнює відповідно відношенню прилеглих до них двох інших сторін трикутника.

Або бісектриса трикутника розбиває деяку сторону на дві такі частини, що відношення однієї з них до прилеглої до неї сторони трикутника дорівнює відношенню другої частини до відповідно прилеглої до неї сторони трикутника.

Корисними при розв’язанні задач є властивості елементів прямокутного трикутника.

Співвідношення в прямокутному трикутнику:

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним (або середнім геометричним) між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу. Тобто квадрат катета прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію цього катета на гіпотенузу.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним (середнім геометричним) між проекціями катетів на гіпотенузу, тобто квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.