5.8: Класифікація паралелограм

\(ABCD\) це прямокутник, якщо і тільки якщо \(\angle A\cong \angle B\cong \angle C\cong \angle D\) .

• Чотирикутник – це ромб тоді і тільки тоді, коли він має чотири конгруентні сторони.

\(ABCD\) це ромб, якщо і тільки якщо \(\overline\cong \overline \cong \overline \cong \overline\) .

• Чотирикутник – це квадрат тоді і тільки тоді, коли він має чотири прямі кути і чотири конгруентні сторони. За визначенням квадрат – це прямокутник і ромб.

\(ABCD\) квадрат, якщо і тільки якщо \(\angle A\cong \angle B\cong \angle C\cong \angle D\) і \(\overline\cong \overline \cong \overline \cong \overline\) .

Ви завжди можете показати, що паралелограм – це прямокутник, ромб або квадрат, використовуючи визначення цих фігур. Є кілька додаткових способів довести, що паралелограми є прямокутники і ромби, показані нижче:

1. Паралелограм – це прямокутник, якщо діагоналі конгруентні.

\(ABCD\) є паралелограмом. Якщо \(\overline\cong \overline\) , то \(ABCD\) теж прямокутник.

2. Паралелограм – це ромб, якщо діагоналі перпендикулярні.

\(ABCD\) є паралелограмом. Якщо \(\overline\perp \overline\) , \(ABCD\) то ще й ромб.

3. Паралелограм – це ромб, якщо діагоналі розділяють кожен кут.

\(ABCD\) є паралелограмом. Якщо \(\overline\) \(\angle BAD\) бісекції \(\angle BCD\) і \(\angle ABC\) і \(\overline\) \(\angle ADC\) бісекції і, \(ABCD\) то теж ромб.

Що робити, якщо вам дали паралелограм і інформацію про його діагоналі? Як ви можете використовувати цю інформацію, щоб класифікувати паралелограм як прямокутник, ромб та/або квадрат?

Це прямокутник ІНОДІ, ЗАВЖДИ, або НІКОЛИ не паралелограм? Поясніть чому.

Прямокутник має два набори паралельних сторін, тому він ЗАВЖДИ є паралелограмом.

Чотирикутник ІНОДІ, ЗАВЖДИ або НІКОЛИ не п’ятикутник? Поясніть чому.

Чотирикутник має чотири сторони, тому він НІКОЛИ не буде п’ятикутником з п’ятьма сторонами.

Які типи паралелограма наведені нижче цифри?

Малюнок \(\PageIndex\) Малюнок \(\PageIndex\)

Для першої фігури всі сторони конгруентні і один кут є \(135^\) , тому кути не конгруентні. Це ромб.

Для другої фігури всі чотири кути конгруентні, але сторони – ні. Це прямокутник.

Ромб ІНОДІ, ЗАВЖДИ або НІКОЛИ не квадрат? Поясніть чому.

Ромб має чотири конгруентні сторони, а квадрат має чотири конгруентні сторони та кути. Тому ромб – це квадрат, коли він має конгруентні кути. Це означає, що ромб іноді є квадратом.

Перерахуйте все, що ви знаєте про квадрат \(SQRE\) .

Квадрат має всі властивості паралелограма, прямокутника і ромба.

Всі двосекційні кути є \(45^\) .

Рецензія

1. \(RACE\) являє собою прямокутник. Знайти:
   1. \(RG\)
   2. \(AE\)
   3. \(AC\)
   4. \(EC\)
   5. \(m\angle RAC\)
   1. \(MA\)
   2. \(MI\)
   3. \(DA\)
   4. \(m\angle DIA\)
   5. \(m\angle MOA\)
   1. \(m\angle UCE\)
   2. \(m\angle EYB\)
   3. \(m\angle UBY\)
   4. \(m\angle UEB\)

   Для питань 4-15 визначте, чи є чотирикутник паралелограмом, прямокутником, ромбом, квадратом чи ні.

   1. Малюнок \(\PageIndex\)
   2. Малюнок \(\PageIndex\)
   3. Малюнок \(\PageIndex\)
   4. Малюнок \(\PageIndex\)
   5. Малюнок \(\PageIndex\)
   6. Малюнок \(\PageIndex\)
   7. Малюнок \(\PageIndex\)
   8. Малюнок \(\PageIndex\)
   9. Малюнок \(\PageIndex\)
   10. Малюнок \(\PageIndex\)
   11. Малюнок \(\PageIndex\)
   12. Малюнок \(\PageIndex\)

   Для питань 16-19 визначте, чи завжди, колись чи ніколи не відповідають дійсності наступне. Поясніть свої міркування.

   1. Прямокутник – це ромб.
   2. Квадрат – це паралелограм.
   3. Паралелограм регулярний.
   4. Квадрат – це прямокутник.

   Огляд (Відповіді)

   Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 6.5.

   Лексика

   Термін	Визначення
   прямокутник	Паралелограм – це прямокутник тоді і лише тоді, коли він має чотири правих (конгруентні) кути
   ромб	Паралелограм – це ромб тоді і тільки тоді, коли він має чотири конгруентні сторони
   квадрат	Паралелограм – це квадрат тоді і тільки тоді, коли він має чотири прямі кути і чотири конгруентні сторони.
   зворотний	Якщо умовний оператор є \(p\rightarrow q\) ( \(p\) if, то \(q\) ), то зворотним є \(q\rightarrow p\) (if \(q\) , то \(p\) . Зауважте, що зворотне твердження не відповідає дійсності лише тому, що оригінальне твердження є істинним.
   Паралелограм	Паралелограм – це чотирикутник з двома парами паралельних сторін.
   Рефлексивне властивість конгруентності	\(\overline\cong \overline\) або \(\angle B\cong \angle B\)

   Додаткові ресурси

   Відео: Принципи класифікації паралелограм – основні

   Діяльність: Класифікація паралелограм Питання обговорення

   Навчальні посібники: паралелограми навчальний посібник

   Практика: Класифікація паралелограм

   Реальний світ: Паралелограми

   Як знайти висоту паралелограма?

   Паралелограм – це чотирикутник з протилежними і попарно паралельними один одному сторонами.

   Висота паралелограма – це лінія, перпендикулярна однієї із сторін паралелограма і з’єднує цю сторону з протилежними кутом.

   Для того щоб дізнатися, як знайти довжину висоти паралелограма, звернемося до формул. Висота найчастіше позначається буквою h.

   Спосіб знаходження висоти залежить від відомих нам величин в завданні. Розглянемо різні способи на конкретних прикладах.

   Приклад 1

   Дано площа (S) і довжина підстави (a).

   Приклад: Площа паралелограма дорівнює 100 см 2 , підстава, до якого проведена висота, дорівнює 20 см. Знайдіть висоту.

   Приклад 2

   Дано довжина прилеглої до висоти сторони паралелограма (b) і кут, протилежний самої висоті (a).

   Приклад: Позначимо наш паралелограм буквами ABCD, висота BE проходить з кутка ABC до сторони AD. Довжина сторони AB дорівнює 20 см, кут BAD дорівнює 30 градусів. Знайдіть висоту.

   Приклад 3

   Дано довжина сторони паралелограма, прилегла до висоті (n) і довжина відсікається від основи частині сторони (m).

   Приклад: у параллелограмме ABCD висота BE проходить з кутка ABC до сторони AD. Довжина AB дорівнює 5 см, довжина АЕ дорівнює 3 см. Знайдіть висоту.

   Приклад 4

   Дано довжина діагоналі, що виходить з того ж кута, що і висота (d), і довжина відсікається від основи частині сторони (m).

   Приклад: у параллелограмме ABCD висота BE проходить з кутка ABC до сторони AD. Діагональ BD дорівнює 5 см, довжина ED = 4 см.

   Якщо в завданні потрібно знайти велику висоту паралелограма, то необхідно порахувати довжини обох висот і вибрати найбільше значення.

   У геометричній фігурі паралелепіпед є шість граней – чотири основні і два підстави (за визначенням вони все є паралелограма). Якщо всі шість є прямокутниками, то паралелепіпед буде прямим. Грані знаходяться на протилежних сторонах рівні, при цьому…

   Перш ніж дізнатися, як знайти площу паралелограма, нам необхідно згадати, що таке паралелограм і що називається його висотою. Паралелограм – чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). Перпендикуляр,…

   Паралелограм – це геометрична фігура, чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні. Прямокутник, квадрат, ромб – все це окремі випадки паралелограма.Розберемо докладніше, що таке паралелограм, а також якими властивостями володіє дана…

   Як знайти діагональ паралелограма?

   Паралелограм являє собою геометричну фігуру, характерною особливістю якої є те, що у неї протилежні сторони паралельні і попарно рівні, а також діагоналі в ній перетинаються, і точка заходу ділить їх навпіл. Квадрат, ромб і прямокутник є паралелограма.

   Діагональ паралелограма

   Розглянемо, як знайти діагональ паралелограма. У параллелограмме:

   • Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, завжди буде становити 180 градусів;
   • Точка, в якій діагоналі перетинаються, є центр симетрії паралелограма.
   • У будь-якому чотирикутнику, в тому числі в параллелограмме сума всіх кутів дорівнює 360 градусів;
   • Подвоєна сума квадратів двох суміжних сторін паралелограма завжди дорівнює сумі квадратів діагоналей.

   Для того щоб знати, як знайти велику діагональ паралелограма, треба визначитися з літерним позначенням. Наприклад, ми маємо паралелограм зі сторонами АВ і ВС. Маленькою літерою «а» позначимо одну довжину паралелограма, а маленькою літерою «в» буде друга його довжина. Маленькими літерами d1 d2 позначимо діагоналі. Для того щоб знайти діагональ паралелограма треба:

   • Значення властивостей паралелограма допомагає знайти потрібне рішення. Діагоналі, які в точці заходу діляться навпіл, називаються биссектрисами. Менша бісектриса – для тупих кутів, велика для гострих кутів. Таким чином, коли розглядаються пари трикутників, одержуваних з однієї діагоналі і двох суміжних сторін геометричної фігури, інша половина діагоналі є ще й медианой.
   • Трикутники, які виходять в результаті утворення половинами діагоналі і паралельними сторонами будь-якого паралелограм вважаються подібними, також діагональ ділить таку геометричну фігуру на два трикутника, вони симетричні щодо заснування та абсолютно однакові.
   • Для знаходження великої діагоналі паралелограма необхідно скористатися загальноприйнятою формулою, яка говорить про співвідношення суми квадратів довжин сторін, яка подвоюється і суми квадратів двох діагоналей. Формула матиме такий вигляд: d1? + D2? = 2х (a? + B?).
   • Якщо більша діагональ – d2, тоді формула буде мати такий вигляд: d2 = .

   Розглянемо на прикладі, як знайти довжину діагоналі паралелограма. Припустимо, що паралелограм має довжину сторін: а = 3, в = 8. Необхідно знайти ту діагональ, яка є більшою, при цьому буде відомо, що вона більше меншою на три см. Діагональ. Спочатку записуємо формулу в загальному вигляді, вона буде мати вигляд: d1? + D2? = 2 х (9 + 64) = 146, далі висловлюємо довжину меншої діагоналі: d1 = d2 – 3, підставивши то вираз в першу формулу, отримаємо: (d2 – 3)? + D2? = 146

   • Зводимо в квадрат значення в дужках, отримуємо: d2? – 6х d2 + 9 + d2? = 14, 2х d2? – 6х d2 -135 = 0
   • Отримане квадратне рівняння вирішується, використовуючи дискриминант. Таким чином, діагональ дорівнює 9,85 і вона є позитивною величиною.