1. Паралельність прямих, прямої та площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними , якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

1. Якщо прямі \(a\) і \(b\) паралельні, із визначення випливає, що через них можна провести площину α .

2. Щоб довести, что така площина тільки одна, на прямій \(a\) позначаємо точки \(B\) і \(C\), а на прямій \(b\) — точку \(A\).

3. Оскільки через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину (2 аксіома), то α — єдина площина, якій належать прямі \(a\) і \(b\).

Теорема 2. Через будь-яку точку простору поза даною прямою можна провести пряму, паралельну даній прямій, і до того ж тільки одну.

2. Така площина тільки одна, оскільки через пряму і точку, що не лежить на прямій, можна провести площину, до того ж тільки одну.

3. А в площині α через точку \(M\) можна провести тільки одну пряму \(b\), що паралельна прямій \(a\).

Теорема 3. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає дану площину, то й інша пряма перетинає цю площину.

Розглянемо дві паралельні прямі \(a\) і \(b\) і припустимо, що пряма \(b\) перетинає площину α в точці \(M\) (1. рис.).

З 1-ої теореми відомо, що через паралельні прямі \(a\) і \(b\) можна провести тільки одну площину β .

Оскільки точка \(M\) розташована на прямій \(b\), то \(M\) також належить площині β (2. рис.). Якщо площини α і β мають спільну точку \(M\), то у цих площин є спільна пряма \(c\), яка є прямою перетину цих площин (4 аксіома).

Якщо в цій площині одна з паралельних прямих \(b\) перетинає пряму \(c\), то друга пряма \(a\) також перетинає \(c\).

Оскільки точка \(K\) розміщена на прямій \(c\), то \(K\) розміщена в площині α і буде єдиною спільною точкою прямої \(a\) і площини α .

Через точку \(M\) і пряму \(a\), яка не містить цю точку, можна провести тільки одну площину α (Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести тільки одну площину).

Отже, пряма \(c\), що паралельна прямій \(b\), також перетинає площину α . Оскільки a ∥ c , то виходить, що \(a\) також перетинає цю площину. Але пряма \(a\) не може одночасно перетинати площину α і лежати у площині α . Маємо суперечність, отже, припущення, що пряма \(b\) перетинає площину α , є неправильним.

Це означає, що через точку \(L\) проведено дві прямі \(a\) і \(b\), паралельні прямій \(c\). Але відповідно до другої теореми це неможливо. Тому припущення неправильне, і прямі \(a\) і \(b\) не мають спільних точок.

Оскільки прямі \(a\) і \(b\) містяться в одній площині α і не мають спільних точок, то вони паралельні.

2) Паралельності прямих у просторі притаманна транзитивність: якщо a ∥ b і b ∥ c , то a ∥ c .

Одна сторона параллелограма перетинає площину. Доведіть, що пряма, що містить протилежну сторону паралелограма, також перетинає цю площину.

Оскільки протилежні сторони паралелограма паралельні, то, відповідно до третьої теореми, пряма, що містить сторону \(CD\), також перетинає площину α .

Відповідно до аксіом, якщо дві точки прямої містяться в деякій площині, то пряма лежить у цій площині. З цього виходить, що можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини у просторі:

Теорема 5 «Ознака паралельності прямої і площини».
Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна будь-якій прямій з цієї площини, то ця пряма паралельна даній площині.

Доведення:
Доведення проведемо від супротивного. Нехай \(a\) не паралельна площині α , тоді пряма \(a\) перетинає площину в якійсь точці \(A\). Причому \(A\) не лежить на \(b\), оскільки a ∥ b . Відповідно до ознаки прямих, що перетинаються, прямі \(a\) і \(b\) перетинаються.

Ми дійшли до суперечності. Оскільки a ∥ b , вони не можуть перетинатися. Отже, пряма \(a\) паралельна площині α .

Теорема 6.
Якщо площина β проходить через дану пряму \(a\), паралельну площині α , і перетинає цю площину по прямій \(b\), то b ∥ a .

Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) – М. І. Бурда – Оріон 2018 рік

Ви знаєте, що в кожній площині дві прямі або мають одну спільну точку, тобто перетинаються, або не мають спільних точок, тобто паралельні.

Яке взаємне розміщення двох прямих у просторі?

Подивіться на малюнок 118. Ви бачите, що пішохідний перехід (пряма а) перетинає дві паралельні смуги руху транспорту (прямі b і с), які проходять під естакадою (пряма d).

Цей приклад ілюструє три випадки взаємного розміщення двох прямих у просторі:

✵ дві прямі перетинаються (прямі а і b);

✵ дві прямі паралельні (прямі b і с);

✵ дві прямі мимобіжні (прямі b і d).

Розглянемо властивості прямих у кожному з випадків.

За наслідком 1 з аксіом стереометрії, прямі а і b, що перетинаються, лежать в одній площині (мал. 119). Тому в просторі, як і на площині, прямі, що перетинаються, мають одну спільну точку — точку їх перетину.

Кутом між прямими а і b вважається гострий кут, якщо прямі утворюють гострі й тупі кути (мал. 120). Якщо φ — кут між прямими а і b, то говорять, що дані прямі перетинаються під кутом φ.

Якщо прямі а і b утворюють прямі кути (мал. 121), то кут між прямими дорівнює 90°. Такі прямі називаються перпендикулярними.

Перпендикулярність двох прямих у просторі позначають так, як у планіметрії: а ⊥ b.

Промені або відрізки, що лежать на перпендикулярних прямих, також вважають перпендикулярними. Перпендикуляром до даної прямої у просторі називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним із своїх кінців точку їх перетину. На малюнку 122 відрізок АО є перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої а, точка О — основа перпендикуляра. Перпендикуляр АО є найкоротшим з усіх відрізків, що сполучають точку А з точками прямої а.

Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.

На малюнку 122 відстань від точки А до прямої а дорівнює довжині перпендикуляра АО.

З курсу планіметрії ви знаєте, що на площині паралельними називаються дві прямі, які не перетинаються. Спробуйте дати відповідне означення для простору та порівняйте його з наведеним у підручнику.

Дві прямі у просторі, що лежать в одній площині й не перетинаються, називаються паралельними.

За означенням, паралельні прямі не мають спільних точок (мал. 123).

Паралельність двох прямих у просторі позначають, як у планіметрії: а || b.

Ви знаєте, що в площині через точку, яка не лежить на прямій, можна провести єдину пряму, паралельну даній прямій. Це твердження було прийнято як аксіому в планіметрії. Однак у просторі це твердження потребує доведення.

Теорема (основна властивість паралельних прямих у просторі)

Через точку, яка не лежить на прямій, у просторі можна провести пряму, паралельну даній прямій, і до того ж тільки одну.

Дано: пряма а, точка А, що не лежить на прямій а (мал. 124).

Довести: існує пряма b || а (А ∈ b) і до того ж тільки одна.

Доведення. За наслідком 1 з аксіом стереометрії, через пряму а і точку А можна провести площину а і до того ж тільки одну. У площині а, за аксіомою паралельних прямих, через точку А можна провести пряму b II а, і до того ж тільки одну (мал. 125). Отже, у просторі через точку А можна провести тільки одну пряму b || а.

З означення паралельних прямих і доведеної теореми випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину і до того ж тільки одну.

Як установити паралельність двох прямих у просторі?

Відповідь дає така теорема, яку приймемо без доведення.

Теорема (ознака паралельності прямих)

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Задача 1. MN — середня лінія бічної грані SAB правильної чотирикутної піраміди SABCD (мал. 126). Доведіть, що MN || CD. Розв’язання. Бічними гранями даної піраміди є трикутники. Тому в ∆SAB , за властивістю середньої лінії трикутника, MN || АВ. Основа даної піраміди — квадрат ABCD, тому АВ || CD. Отже, за ознакою паралельності прямих, MN || CD.

щоб установити паралельність двох прямих, покажіть, що:

✵ або існує пряма, якій паралельна кожна з даних прямих,

✵ або відрізки даних прямих є протилежними сторонами паралелограма (чи основами трапеції, чи основою й середньою лінією трикутника тощо).

Відстанню між паралельними прямими називається довжина перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки однієї прямої до другої прямої.

На малюнку 127 відстань між паралельними прямими а і Ъ дорівнює довжині перпендикуляра АО.

Подивіться на малюнок 128. Ви бачите, що обірвана лінія електропередачі (пряма а) упирається в землю в точці А. Вона не має спільних точок з дорогою (прямою b). Іншими словами, пряма а перетинає площину в точці А, а пряма b лежить у ній, але не проходить через точку А.

Прямі а і b не мають спільних точок, але вони не є паралельними. Отже, через них не можна провести площину. Саме це відрізняє мимобіжні прямі від паралельних прямих.

Обірвані електропроводи — небезпечні!

Дві прямі у просторі, що не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

На малюнку 129 ви бачите прямокутний паралелепіпед. Прямі, що містять ребра АВ і СС ₁, — мимобіжні.

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.

Кут між прямими а і b (мал. 130) не залежить від вибору прямих, що перетинаються.

Задача 2, АBСDА ₁B ₁С ₁D ₁ — куб (мал. 131). Знайдіть кут між мимобіжними прямими BА ₁ і СС ₁.

Розв’язання. CC ₁|| BB ₁, оскільки грань куба — квадрат. Тоді кут між мимобіжними прямими BА ₁ і СС ₁ дорівнює куту між прямими BА ₁ і BB ₁, тобто 45°.

щоб знайти кут між мимобіжними прямими, можна на одній з них взяти довільну точку і через неї провести пряму, паралельну другій прямій.

Якщо кут між мимобіжними прямими дорівнює 90°, то дані прямі вважають перпендикулярними (мал. 132).

у просторі перпендикулярні прямі можуть або перетинатися, або бути мимобіжними.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі подано в таблиці 16.

Не лежать в одній площині

Термін «класифікація» походить від латинських слів χλασσισ — розряд і φαχιοф— роблю. Класифікація— це розподіл деяких предметів на класи відповідно до найсуттєвішої їх ознаки. У свою чергу, кожний клас предметів поділяється на підкласи. Суттєва ознака, що дає підстави класифікувати предмети, називається основою класифікації. Вам добре відомі класифікації в різних галузях людського знання. Наприклад, у зоології — живих істот, які населяють нашу планету, в історії — суспільно-економічних формацій, у фізиці — елементарних частинок тощо.

Наукова класифікація відіграє важливу роль у науці. Вона полегшує процес дослідження, уможливлює виявлення прихованих закономірностей. Показовим є приклад розробки класифікації хімічних елементів. Видатний учений Д. І. Менделєєв (1834-1907) відкрив у 1869 р. один з найфундаментальніших законів природи — періодичний закон хімічних елементів. Це дало змогу вченому не лише систематизувати й уточнити дані про відомі на той час хімічні елементи, а й передбачити існування ще трьох елементів.

1. Які можливі випадки розміщення двох прямих у просторі?

2. Яку просторі визначають кут між прямими, що перетинаються?

3. Сформулюйте означення відстані від точки до прямої.

4. Які прямі у просторі називаються паралельними? Як їх позначають?

5. Що таке відстань між паралельними прямими?

6. Дайте означення мимобіжних прямих.

7. Що таке кут між мимобіжними прямими?

8. Поясніть, які прямі у просторі вважаються перпендикулярними.

541. Наведіть приклади взаємного розміщення двох прямих на навколишніх предметах.

542. На малюнках 133, 134 зображено прямокутний паралелепіпед. Назвіть прямі, які мають одну спільну точку з даною прямою:

У якій точці ці прямі перетинають дану пряму?

543. Назвіть будь-які дві пари взаємно перпендикулярних прямих на малюнках 133, 134.

544. Чи зображено перпендикулярні прямі на малюнках 135, 136?

545. Назвіть пряму й перпендикуляр до неї на малюнках 133- 136.

546. Довжина якого відрізка дорівнює відстані від точки А до прямої ВС (мал. 133 – 136)?

1) паралельні прямі (мал. 133, 134);

2) мимобіжні прямі (мал. 133 – 136).

1) прямі, що перетинаються й лежать у площині нижньої основи куба;

2) прямі, що перетинаються під прямим кутом і лежать у площині верхньої основи куба;

3) перпендикулярні прямі, що проходять через точку А ₁; точку С;

4) пряму й перпендикуляр, який проведено до цієї прямої з точки В; з точки D ₁.

549. Яка градусна міра кута між прямими:

2) СА і AM, якщо ∆АВС — правильний (мал. 135);

4) КС і КР, якщо ∆АКВ = ∆АКС (мал. 136)?

550. Вершина верхньої основи прямокутного паралелепіпеда та ребро його нижньої основи лежать в одній бічній грані. Якою може бути відстань від даної вершини до даного ребра паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють:

1) 3 см, 4 см, 5 см; 2) 5 см, 2 см, 2 см; 3) 8 см, 8 см, 8 см? Побудуйте відповідне зображення.

551. Знайдіть відстані між паралельними ребрами прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють:

1) 4 см, 6 см, 9 см; 2) 5 см, 5 см, 5 см; 3) 5 см, 12 см, 12 см.

552. Як можуть взаємно розміщатися ребра основи й бічні ребра:

1) паралелепіпеда; 2) трикутної піраміди; 3) чотирикутної піраміди?

553. У прямокутному паралелепіпеді (мал. 137) ребра АВ і CD лежать на мимобіжних прямих, а ребра CD і ВК — на паралельних прямих. На малюнку 138 цей паралелепіпед певним чином повернуто. Скопіюйте ці малюнки й позначте на них ребра CD і ВК. Яке взаємне розміщення прямих, на яких лежать ребра АВ і CD? А ребра CD і ВК?

554. Назвіть пари ребер многогранника, які лежать на мимобіжних прямих, якщо цей многогранник:

1) куб; 2) прямокутний паралелепіпед.

555. Назвіть пари ребер піраміди, які лежать на мимобіжних прямих, якщо піраміда: 1) трикутна; 2) чотирикутна.

556. АВ і CD — мимобіжні прямі. Чи є паралельними прямі:

557. ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ — куб. Назвіть пари його ребер, що лежать на перпендикулярних прямих, які:

1) перетинаються; 2) є мимобіжними.

558. Точки А і B лежать у площині а, а точка С не належить їй. Знайдіть відстань від точки С до прямої АВ, якщо:

1) АВ – 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см;

2) АВ – 5 см, ВС = 6 см, АС = 9 см.

559. Пряма а і точка А лежать у площині а. Скільки прямих можна провести через точку А, кожна з яких:

1) перетинає пряму а; 2) паралельна прямій а; 3) мимобіжна з прямою а?

Розгляньте випадки, якщо точка А лежить на прямій а і якщо не належить їй.

560. Пряма а лежить у площині а, пряма b перетинає її, але не перетинає пряму а. Чи можна провести площину через прямі а і b?

561. Скільки пар ребер прямокутного паралелепіпеда лежать на мимобіжних прямих, якщо призма: 1) трикутна; 2) чотирикутна?

562. Скільки пар ребер піраміди лежать на мимобіжних прямих, якщо піраміда: 1) трикутна; 2) чотирикутна?

563. ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ — куб. Знайдіть кут між прямими:

564. Доведіть: якщо дві прямі не мають спільних точок, то вони або лежать в одній площині, або не лежать в одній площині.

565. Знайдіть відстань між паралельними ребрами правильної шестикутної піраміди, ребро основи якої дорівнює бічному ребру, що має довжину 5 см.

566. Скільки пар мимобіжних прямих визначають пари з:

1) чотирьох точок; 2) п’яти точок; 3) n точок?

567. Знайдіть кут між мимобіжними ребрами правильної трикутної призми, бічне ребро якої вдвічі довше за ребро основи.

568. Як за допомогою двох ниток установити, чи стоятиме стіл із чотирма ніжками на рівній підлозі стійко?

569. На подвір’ї (площина а) розміщено колодязь (точка А), прокладено доріжку (пряма а) і встановлено стовп із ліхтарем (пряма b). У площині а проведіть пряму, яка:

2) перетинає пряму b і паралельна прямій а;

3) перетинає прямі а і b та проходить через точку А. Сформулюйте відповідні практичні задачі.

570. Майстриня прикрашає сорочку вишиваними смужками, розміщуючи їх на лівій і правій полах сорочки паралельно лінії ґудзиків. Чому в готовому виробі смужки виглядають паралельними?

571. Як визначити кут між мимобіжними прямими в класній кімнаті?

572. Щоб естетично розмістити на стіні картину прямокутної форми, один з її горизонтальних країв вирівнюють відносно стику цієї стіни і стелі. На чому ґрунтується такий спосіб?

573. Необхідно з’єднати проводкою вимикач і світильник у кімнаті, що має довжину 6 м, ширину 3 м і висоту 3 м. Вимикач розміщено посередині торцевої стіни на висоті 1 м від підлоги, а світильник — посередині протилежної стіни на відстані 1 м від стелі (мал. 139).

Як треба провести проводку, щоб її довжина була найкоротшою?

Подивіться на малюнок 140. Ви бачите, що на стіні будинку (площина а) проходить труба газопостачання (пряма а), до вікна другого поверху приставлено драбину (пряма b), а поруч із будинком — дорожній знак (пряма с). Цей приклад ілюструє три випадки взаємного розміщення прямої та площини:

✵ пряма лежить у площині(пряма а), вона має з площиною безліч спільних точок;

✵ пряма перетинає площину (пряма b), вона має з площиною одну спільну точку;

✵ пряма не перетинає площину (пряма с), вона не має з площиною спільних точок.

Пряма й площина, які не перетинаються, називаються паралельними.

Записуємо: а || а, і говоримо: «пряма а паралельна площині а».

Як установити, що пряма паралельна площині? Відповідь дає така теорема.

Теорема (ознака паралельності прямої та площини).

Якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині.