✅Директриса параболи

Директрисою параболи називають таку пряму, найкоротша відстань від якої до будь-якої точки M, що належить параболі точно таке ж, як і відстань від цієї ж точки до фокусу параболи F.

Основні поняття параболи

Ставлення відстаней від точки M, що лежить на параболі, до цієї прямої і від цієї ж точки до фокусу F параболи називають ексцентриситетом параболи ε.

Щоб знайти ексцентриситет параболи, досить скористатися наступною формулою з визначення ексцентриситету.

Канонічна парабола задається рівнянням виду y 2 = px, де p обов’язково повинно бути більше нуля.

Більш часто доводиться мати справу з параболою, вершина якої не знаходиться в точці початку координатних осей, і тоді рівняння параболи набуває такого вигляду:

Y = ax 2 + bx + c, при цьому коефіцієнт a не дорівнює нулю.

Щоб знайти директрису такий параболи, необхідно від такої форми перейти до канонічної, нижче в прикладах показано, як це зробити.

Відстань від фокуса до директриси параболи називається її фокальним параметром p. Рівняння директриси канонічної параболи має наступний вигляд: x = -p/2

Алгоритм складання рівняння директриси параболи, задається не канонічним рівнянням
Щоб скласти рівняння директриси параболи, вершина якої не знаходиться на перетині осей координат, досить скористатися наступним алгоритмом:

• Перенесіть всі складові з y в ліву частину рівняння, а з x – в праву.
• Спростіть отриманий вираз.
• Введіть додаткові змінні щоб прийти до канонічного виду рівняння.

Знайти півосі, фокуси, ексцинтриситет, координати центра та рівняння директрис

You seem to be using an older version of Internet Explorer. This site requires Internet Explorer 8 or higher. Update your browser here today to fully enjoy all the marvels of this site.

Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, координати, центра та рівняння директрис $$ 2x^2 + 3 y^2 – 4 x + 6 – 7y = 0$$

Все ответы

Дано: рівняння кривої другого порядку \(2x^2+ 3 y^2- 4 x + 6 – 7y = 0\)

1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого і першого ступеня (немає змішаного твори), тому канонічне рівняння будемо отримувати методом виділення повного квадрата.
$$ 2x^2+ 3 y^2- 4 x + 6 – 7y = 0 = > $$$$ 2 (x^2 – 2x) + 3 (y^2 – \fracy) +6 = 0 = > $$ доповнюємо члени в дужках до повного квадрата $$ 2 (x^2 – 2x +1-1) + 3 (y^2 – \frac*\fracy + \frac -\frac) +6 = 0 = >$$$$ 2(x-1)^2-2 + 3(y-\frac)^2 – \frac +6 = 0 = >$$$$ 2(x-1)^2 + 3(y-\frac)^2 – \frac = 0 $$ Отримали рівняння еліпса. Як відомо канонічне рівняння еліпса $$ \frac + \frac = 1 $$ помножим рівняння на 12 $$ 24(x-1)^2 + 36(y-\frac)^2 =1 => $$ $$ \frac< (\frac<2\sqrt>)^2> + \frac<(y-\frac)^2><(\frac)^2> =1 =>\quad (1) $$

2. Знайти координати фокусів, центру.

Розглянемо отримане рівняння еліпса. \( \frac< (\frac>)^2> + \frac<(y-\frac)^2><(\frac)^2> =1\) з рівняння видно, що координата центру еліпса \(O (1; \frac)\) => \(O (1; 1.167)\).

Також з рівняння визначимо півосі еліпса \(a = \frac> \) і \(b = \frac \).
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь \(F_1F_2 \). Т.я. \( a > b \), то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними: \(F_1(-c+x_0; 0 +y_0) \) і \(F_2 (c+x_0; 0+y_0) \), де \(c = \sqrt => \) $$c = \sqrt<(\frac>)^2 – (\frac)^2 > = \sqrt <\frac - \frac> = \frac> $$ де \((x_0;y_0)\) – координати центру еліпса \(O (1; \frac)\).

Координати фокусів будуть наступні \(F_1 (- \frac> +1; 0 +\frac) \) і \(F_2 ( \frac>+1; 0 + \frac) \) => \(F_1 ( 0.88; 1.167) \) і \(F_2 ( 1.118; 1.167) \).

3. Знайти ексцентриситет еліпса.

4. Директриса еліпса.

5. Будуємо малюнок: