Що таке гострий, прямий і тупий кути?

Уяви собi катання на санчатах по заснiженiй гiрцi взимку. Чи намагався/намагалася ти коли-небудь кататися на них по рiвнiй поверхнi? Це було весело? Я припускаю, що нi, тому що санчата, мабуть, просто стояли на мiсцi.

Щоб розiгнатися на санчатах, потрiбна гiрка. Те, наскiльки крутим є гiрка, можна описати за допомогою кута.

Коли кiнцi двох прямих стикаються в однiй точцi, вони утворюють кут. Кут позначають, проводячи дугу мiж двома прямими. Коли двi прямi утворюють кут, ми називаємо їх сторонами кута. Є три види кутiв: гострий, прямий i тупий.

Гострi кути

Перший вид кута — гострий кут. Усi кути, меншi за 9 0 ° , гострi, тобто всi кути, що меншi за прямий кут, гострi.

Прямi кути

Вуличний лiхтар, що стоїть прямо, утворює iз дорогою кут. Цей кут називається прямим кутом. Прямий кут — це будь-який кут, що дорiвнює 9 0 ° . Прямий кут часто позначають, проводячи в мiсцi з’єднання сторiн квадрат замiсть дуги.

Тупi кути

Нарештi розгляньмо тупi кути. Усi кути, бiльшi за 9 0 ° й меншi за 1 8 0 ° , є тупими кутами. Це означає, що тупi кути — це кути, якi бiльшi за прямий кут.

Коли ми проводимо пряму через iншу пряму, можуть статися двi речi. Отримаємо або два прямi кути, або один гострий i один тупий кути.

Подивися на транспортир. Чи можеш ти пояснити, як вiн влаштований?

Як можна побачити на транспортирi, в нього є внутрiшнє та зовнiшнє пiвкола з позначеними на ньому градусами. Внутрiшнє коло має подiлки вiд 0 ° до 1 8 0 ° проти годинникової стрiлки, а зовнiшнє — має подiлки вiд 0 ° до 1 8 0 ° за годинниковою стрiлкою. Деякi транспортири виглядають протилежно до того, що описане вище.

Транспортир можна використовувати в обидвох напрямках, тому вiн має градуси як за годинниковою, так i проти годинникової стрiлки. Пiд час вивчення геометрiї в тебе завжди має бути транспортир.

7.1.3: Трикутники

Геометричні фігури, також звані фігурами, є важливою частиною вивчення геометрії. Трикутник – одна з основних форм в геометрії. Це найпростіша форма в класифікації форм, які називаються багатокутниками. Всі трикутники мають три сторони і три кути, але вони бувають самих різних форм і розмірів. У групі всіх трикутників характеристики сторін і кутів трикутника використовуються для його ще більшої класифікації. Трикутники мають деякі важливі характеристики, і розуміння цих характеристик дозволяє застосовувати ідеї в реальних завданнях.

Класифікація та іменування трикутників

Багатокутник – це замкнута плоска фігура з трьома або більше прямими сторонами. Багатокутники мають спеціальну назву залежно від кількості сторін, які вони мають. Наприклад, багатокутник з трьома сторонами називається трикутником, оскільки «tri» – це префікс, що означає «три». Його назва також вказує на те, що цей багатокутник має три кути. Приставка «полі» означає багато.

У таблиці нижче наведено і описано три класифікації трикутників. Зверніть увагу, як типи кутів у трикутнику використовуються для класифікації трикутника.

Сума мір трьох внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 o . Цей факт можна застосувати, щоб знайти міру третього кута трикутника, якщо вам дано два інших. Розглянемо приклади нижче.

Приклад

Трикутник має два кути, які вимірюють 35 o і 75 o . Знайдіть міру третього кута.

Рішення

Третій кут трикутника вимірює 70 о .

Приклад

Один з кутів в прямокутному трикутнику вимірює 57 о . Знайдіть вимір третього кута.

Рішення

Знайдіть значення \(\ x\) .

Третій кут прямокутного трикутника має розміри 33 о .

Існує встановлена угода про іменування трикутників. Мітки вершин трикутника, які, як правило, великі літери, використовуються для назви трикутника.

Ви можете назвати цей трикутник \(\ A B C\) або \(\ \triangle A B C\) \(\ A\) \(\ B\) since, і \(\ C\) є вершинами трикутника. При іменуванні трикутника можна починати з будь-якої вершини. Потім тримайте літери в порядку, коли ви обходите багатокутник. Трикутник вище може бути названий різними способами: \(\ \triangle A B C\) , або \(\ \triangle C B A\) . Сторонами трикутника є відрізки ліній \(\ A B\) \(\ AC\) , і \(\ CB\) .

Подібно до того, як трикутники можна класифікувати як гострі, тупі або прямі залежно від їх кутів, їх також можна класифікувати за довжиною їх сторін. Сторони однакової довжини називаються конгруентними сторонами. У той час як ми позначаємо точки з’єднання сегментів \(\ A\) і \(\ B\) позначенням \(\ \overline\) , ми позначаємо довжину точки з’єднання сегмента \(\ A\) і \(\ B\) позначенням \(\ AB\) без сегмента бар над ним. Довжина \(\ AB\) – це число, а відрізок \(\ \overline\) – це сукупність точок, що складають відрізок.

Математики показують конгруентність, проставляючи символ хеш-позначки через середину сторін однакової довжини. Якщо хеш-мітка однакова з однієї або декількох сторін, то ці сторони є конгруентними. Якщо сторони мають різні хеш-позначки, вони не є конгруентними. У таблиці нижче наведено класифікацію трикутників по довжині їх сторін.

Щоб описати трикутник ще більш конкретно, можна використовувати інформацію як про його стороні, так і про кутах. Розглянемо цей приклад.

Приклад

Класифікуйте трикутник нижче.

Рішення

Зверніть увагу на довжини сторін. Чи є знаки конгруентності чи інші етикетки?

Знаки конгруентності говорять нам, що є дві сторони однакової довжини. Отже, це рівнобедрений трикутник.

Це рівнобедрений прямокутний трикутник.

Вправа

Класифікуйте трикутник, показаний нижче.

1. гостра розбіжність
2. правих рівнобедрених
3. тупої розбіжності
4. тупої рівнобедрений

1. Неправильний. Цей трикутник має один кут (кут \(\ Q\) ), який знаходиться між 90 o і 180 o , тому він є тупим трикутником. Це також шкала, оскільки всі сторони мають різну довжину. Правильна відповідь – тупий масштаб.
2. Неправильний. Цей трикутник не містить прямого кута. Він має один кут (кут \(\ Q\) ), який знаходиться десь між 90 o і 180 o , тому це тупий трикутник. Це також шкала, оскільки всі сторони мають різну довжину. Правильна відповідь – тупий масштаб.
3. Правильно. Цей трикутник має вершини \(\ P\) \(\ Q\) , і \(\ R\) , один кут (кут \(\ Q\) ), який знаходиться між 90 o і 180 o , і сторони трьох різної довжини.
4. Неправильний. Хоча цей трикутник тупий, він не має двох сторін однакової довжини. Три його сторони мають різну довжину, тому вона є шаленою. Правильна відповідь – тупий масштаб.

Визначення конгруентних та подібних трикутників

Два трикутника конгруентні, якщо вони точно однакового розміру і форми. У конгруентних трикутників міри відповідних кутів і довжин відповідних сторін рівні. Розглянемо два трикутника, показані нижче:

Оскільки обидва \(\ \angle B\) і \(\ \angle E\) є прямими кутами, ці трикутники є прямими трикутниками. Назвемо ці два трикутника \(\ \triangle A B C\) і \(\ \triangle D E F\) . Ці трикутники є конгруентними, якщо кожна пара відповідних сторін має однакову довжину, а кожна пара відповідних кутів має однакову міру.

Відповідні сторони знаходяться навпроти відповідних кутів.

Двоголова стрілка означає «відповідає»

\ (\\ begin
\ кут B\ лівопрямстрілка\ кут E\\\ кут A
\\ кут D\\\ кут C\\ стрілка вліворуч
\ кут F\\\ overline \ ліворуч
\ перелінія \\ оверлайн \\ перекриття \\ ліворуч
\ перелінія \ Overline \ ліворуч\ перелінія >\\
\ overline \ стрілка вліво/праворуч\ overline
\ end \)

\(\ \triangle A B C\) і \(\ \triangle D E F\) є конгруентними трикутниками, оскільки відповідні сторони і відповідні кути рівні.

Давайте розглянемо ще одну пару трикутників. Нижче розташовані трикутники \(\ \triangle A B C\) і \(\ \triangle R S T\) .

Ці два трикутники, безумовно, не є конгруентними, \(\ \triangle R S T\) оскільки явно менші за розміром, ніж \(\ \triangle A B C\) . Але, незважаючи на те, що вони не однакового розміру, вони нагадують один одного. Вони мають однакову форму. Відповідні кути цих трикутників виглядають так, як вони можуть мати однакове точне вимірювання, і якби вони зробили, вони були б конгруентними кутами, і ми б назвали трикутники подібними трикутниками.

Конгруентні кути позначені хеш-мітками, так само, як і конгруентні сторони.

Ми також можемо показати конгруентні кути, використовуючи кілька смуг всередині кута, а не кілька хеш-міток на одній смузі. Нижче наведено зображення з використанням декількох смуг в межах кута.

Зображення, що показує трикутники \(\ A B C\) та \(\ R S T\) використання смуг, щоб показати кутову конгруентність.

Якщо відповідні кути двох трикутників мають однакові вимірювання, їх називають схожими трикутниками. Ця назва має сенс тому, що вони мають однакову форму, але не обов’язково однаковий розмір. Коли пара трикутників схожа, відповідні сторони пропорційні один одному. Це означає, що існує послідовний масштабний коефіцієнт, який можна використовувати для порівняння відповідних сторін. У попередньому прикладі довжини сторін більшого трикутника все в 1,4 рази більше довжини меншого. Так, подібні трикутники пропорційні один одному.

Просто тому, що два трикутника схожі, не означає, що вони схожі трикутники в математичному сенсі цього слова. Перевірка того, чи відповідні кути мають однакову міру, є одним із способів переконатися, що трикутники схожі.

Відповідні сторони подібних трикутників

Існує ще один метод визначення подібності трикутників, який передбачає порівняння співвідношень довжин відповідних сторін.

Якщо співвідношення пар відповідних сторін рівні, трикутники аналогічні.

Розглянемо два трикутника нижче.

\(\ \triangle A B C\) не відповідає \(\ \triangle D E F\) тому, що довжини сторін більше \(\ \triangle D E F\) , ніж ті \(\ \triangle A B C\) . Отже, чи схожі ці трикутники? Якщо вони є, відповідні сторони повинні бути пропорційними.

Так як ці трикутники орієнтовані однаково, можна з’єднати ліву, праву і нижню сторони: \(\ \overline\) і \(\ \overline\) , \(\ \overline\) і \(\ \overline\) , \(\ \overline\) і \(\ \overline\) . (Можливо, ви назвали ці дві найкоротші сторони, дві найдовші сторони та дві залишки сторін і прибули в однакових співвідношеннях). Зараз ми розглянемо співвідношення їх довжин.

Підставляючи значення довжини сторони в пропорцію, ви бачите, що це правда:

Якщо відповідні сторони пропорційні, то трикутники аналогічні. Трикутники \(\ A B C\) і \(\ D E F\) схожі, але не конгруентні.

Давайте використаємо цю ідею пропорційних відповідних сторін, щоб визначити, чи схожі ще два трикутника.

Приклад

Визначте, чи трикутники нижче схожі, побачивши, чи пропорційні їхні сторони.

Рішення

\(\ \triangle A B C\) і \(\ \triangle D E F\) схожі.

Математичний символ ~ означає «схожий на». Отже, ви можете написати \(\ \triangle A B C\) аналогічно \(\ \triangle D E F\) як \(\ \triangle A B C \sim \triangle D E F\) .

Вправа

Визначте, чи два трикутники схожі, конгруентні чи ні.

1. \(\ \triangle A B C \text < and >\triangle D E F\) є конгруентними.
2. \(\ \triangle A B C \text < and >\triangle D E F\) схожі.
3. \(\ \triangle A B C \text < and >\triangle D E F\) схожі і конгруентні.
4. \(\ \triangle A B C \text < and >\triangle D E F\) не є ні схожими, ні конгруентними.

1. Неправильний. Конгруентні трикутники мають відповідні сторони однакової довжини і відповідні кути рівної міри. Вони однакового точного розміру і форми. \(\ \triangle A B C\) \(\ \triangle D E F\) рівносторонній і рівнобедрений, тому вони не мають однакової точної форми. Правильна відповідь є \(\ \triangle A B C\) і не \(\ \triangle D E F\) є ні схожими, ні конгруентними.
2. Неправильний. Співвідношення відповідних сторін не рівні, тому трикутники не можуть бути подібними: \(\ \frac=\frac\neq \frac\) . Правильна відповідь є \(\ \triangle A B C\) і не \(\ \triangle D E F\) є ні схожими, ні конгруентними.
3. Неправильний. Всі конгруентні трикутники схожі, але ці трикутники не конгруентні. Конгруентні трикутники мають відповідні сторони однакової довжини і відповідні кути рівної міри. \(\ \triangle A B C\) \(\ \triangle D E F\) рівносторонній і рівнобедрений, тому вони не мають однакової точної форми. Правильна відповідь є \(\ \triangle A B C\) і не \(\ \triangle D E F\) є ні схожими, ні конгруентними.
4. Правильно. Відповідні кутові міри, як відомо, рівні, як показано відсутністю знаків конгруентності на кутах. Також співвідношення відповідних сторін не рівні: \(\ \frac=\frac\neq \frac\) .

Пошук відсутніх вимірювань у подібних трикутниках

Знайти відсутні вимірювання в трикутнику можна, якщо знати деякі вимірювання подібного трикутника. Давайте розглянемо приклад.

Приклад

\(\ \triangle A B C\) і \(\ \triangle X Y Z\) є подібними трикутниками. Яка довжина боку \(\ B C\) ?

Рішення

Відсутня довжина сторони \(\ BC\) становить 8 одиниць.

Цей процес досить простий, але будьте обережні, щоб ваші співвідношення представляли відповідні сторони, нагадуючи, що відповідні сторони є протилежними відповідними кутами.

Рішення прикладних задач за участю подібних трикутників

Застосування знань про трикутники, подібність та конгруентність може бути дуже корисним для вирішення проблем у реальному житті. Подібно до того, як ви можете вирішити відсутні довжини трикутника, намальованого на сторінці, ви можете використовувати трикутники, щоб знайти невідомі відстані між місцями або об’єктами.

Розглянемо на прикладі двох дерев і їх тіні. Припустимо, сонце світить на двох деревах, одне висотою 6 футів, а інше, висота яких невідома. Вимірюючи довжину кожної тіні на землі, ви можете використовувати схожість трикутника, щоб знайти невідому висоту другого дерева.

Для початку давайте розберемося, де трикутники в даній ситуації! Самі дерева створюють одну пару відповідних сторін. Відкинуті на землю тіні – це ще одна пара відповідних сторін. Третя сторона цих уявних подібних трикутників проходить від верхівки кожного дерева до кінчика його тіні на землі. Це гіпотенуза трикутника.

Якщо ви знаєте, що дерева і їх тіні утворюють подібні трикутники, ви можете встановити пропорцію, щоб знайти висоту дерева.

Приклад

Коли сонце знаходиться під певним кутом в небі, 6-футове дерево відкине 4-футову тінь. Наскільки високе дерево, яке кидає 8-футову тінь?

Рішення

Дерево заввишки 12 футів.

Резюме

Трикутники – одна з основних форм у реальному світі. Трикутники можна класифікувати за характеристиками їх кутів і сторін, а трикутники можна порівняти виходячи з цих характеристик. Сума мір внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 о . Конгруентні трикутники – це трикутники однакового розміру і форми. Вони мають відповідні сторони однакової довжини і відповідні кути однакового вимірювання. Подібні трикутники мають однакову форму, але не обов’язково однакового розміру. Довжини їх сторін пропорційні. Знання трикутників може бути корисним у вирішенні реальних проблем.

Recommended articles

1. Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 4.0
2. Tags
   1. authorname:nroc
   2. source@https://content.nroc.org/DevelopmentalMath.HTML5/Common/toc/toc_en.html
   3. source[translate]-math-62470