Доказательства теоремы Пифагора

Этот одна из базовых теорем евклидовой геометрии, определяющая соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике. Несложность доказательства и широкое применение обеспечили ей массовую известность.

Теорема Пифагора — краткая история

Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника в том или ином виде было известно многим древним цивилизациям (египетской, шумерской и др.), но первая известная формулировка принадлежит греческому философу и математику Пифагору в V в. до н.э. Об этом известно из труда «Начала», который написал Евклид приблизительно в 300 г. до н. э.

Теорема Пифагора используется для доказательства многих других теорем геометрии. Математиками разработано несколько обобщений, например, для произвольных треугольников, для многомерных пространств. При этом, теорема Пифагора выполняется только в евклидовых геометриях, в иных случаях она не действует.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формулировка теоремы

Изначальная (геометрическая) формулировка Пифагора гласила:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Позднее появился алгебраический вариант:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Оба этих определения эквивалентны. Алгебраическое более элементарно, так как оно не оперирует понятием площади, поэтому теорему в этом виде можно проверить просто – измерив длину гипотенузы и катетов, сделав затем необходимое вычисление.

Уравнение

В виде формулы теорема Пифагора записывается следующим образом:

a 2 +b 2 =c 2 , где:

Доказательство через подобные треугольники

Это доказательство – одно из наиболее простых, так как является прямым следствием аксиом и не оперирует понятием площади.

Имеется прямоугольный треугольник ABC, где C = 90º. Высота, проведенная из прямого угла пересечет гипотенузу в точке H.

Полученные треугольники ACH и CHB подобны треугольнику АВС по двум углам. Отсюда получаем:

Сложив между собой квадраты катетов, получаем:

Это и требовалось доказать.

Другие способы доказательства теоремы

Зафиксировано более 400 доказательств теоремы Пифагора. Это связано с простотой ее формулировки, популярностью и широким применением в геометрии. К числу распространенных доказательств относятся методы площадей и бесконечно малых.

Методом площадей

Первоначально требуется дополнительное построение – рисуется квадрат, каждая из сторон которого равна сумме длин катетов a и b. Отложив эти длины, проведем гипотенузы у прямоугольных треугольников:

Очевидно, что внутренний четырехугольник, образованный четырьмя гипотенузами, будет квадратом, так как все его стороны равны, а углы прямые. Последнее следует из того, что сумма двух углов треугольника, построенных на гипотенузе равна 90º. Вычитая это значение из развернутого угла в 180º получаем как раз прямой угол.

Площадь внешнего квадрата включает в себя:

Изменив расположение отрезков на сторонах квадрата и проведя новое построение, можно получить два внутренних квадрата и два прямоугольника. При этом, прямоугольники всегда будут равны, а квадраты будут равными только в частном случае – при равенстве сторон a и b.

4ab 2 =2ab ⇒ c 2 =a 2 +b 2 , что и нужно было доказать.

Методом бесконечных малых

Данное доказательство делается с помощью интегрального исчисления. Рассматривается ситуация для бесконечно малых приращений сторон треугольника, составляется дифференциальное уравнение и находится его производная.

В начале вводится величина d. На это значение увеличивается катет а и гипотенуза с, а катет b остается неизменным. Отсюда имеем

Разделяя переменные составляется дифференциальное уравнение:

Для его решения необходимо проинтегрировать обе части, при этом получается соотношение:

определяя из начальных условий константу интегрирования, получим:

Таким образом мы определяем, что

Следствие из теоремы Пифагора

Его так же называют обратной теоремой Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

В алгебраическом виде это можно представить так:

c2=a2+b2, где:

Применение теоремы

Благодаря своей универсальности, теорема Пифагора находит себе применение в разных областях математики и других наук. К числу преимуществ ее применения относится прозрачность производимых вычислений.

Расстояние между точками

Одно из главных применений – это определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

Евклидова метрика

В этом случае с помощью теоремы Пифагора находится расстояние в многомерном пространстве:

• n – число измерений данного пространства;
• d (p, q) – необходимое расстояние;
• p(p₁,….,pn) и q(q₁,….,q_n) – две точки, расстояние между которыми нужно найти.

Теория чисел

Арифметическим аналогом теоремы Пифагора стали пифагоровы тройки чисел.

Пифагоровы тройки – группа из трех натуральных чисел x, y и z, удовлетворяющих равенству x2+y2=z2.

Например, к таким числам можно отнести группы (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) и другие. Пифагоровы тройки широко применяются в разных областях деятельности, например, в программировании и криптографии.

Примеры решения задач

В прямоугольном треугольнике АВС, катет ВС = 36 см, гипотенуза АВ = 85 см. Необходимо найти катет АС.

По теореме Пифагора ВС 2 +АС 2 =АВ 2 , значит

Для нахождения ответа подставим в формулу исходные значения:

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 46, 56 и 76 см.

Решение. Если указанный треугольник прямоугольный, то две меньшие стороны в 46 и 56 см – это катеты, а большая, в 76 см – гипотенуза. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов должна быть равна квадрату гипотенузы. Проверим это:

• 46²+56²= 5252;
• 76²= 5776;
• 5252 ≠ 5776, значит, указанный треугольник не является прямоугольным.

Диагонали ромба ABCD равны 24 и 18 см. Чему равна сторона ромба.

Диагонали ромба AC и BD пересекаются под прямым углом и точкой пересечения O делятся пополам. В этом виде задача сводится к поиску гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике ABO с катетами АО=24/2=12 см и ВО=18/2=9 см.

Презентація “Теорема Піфагора”

Презентація призначена для використання на уроці при вивченні нової теми “Теорема Піфагора” з геометрії у 8 класі. Містить основний теоретичний матеріал, старовинні задачі та цікаву інформацію.

Геометрія володіє двома скарбами: один з них — це теорема Піфагора…Йоганн Кеплер

Піфагор. Піфагор Самоський (570 – 496 рр. до н. е.) — давньогрецький філософ, математик, релігійний та політичний діяч. Піфагор є засновником в Кротоні (Південна Італія) Піфагорійської школи, яка поклала початок математичних наук. Крім математики, Піфагорійці займалися філософією, астрономією та теорією музики. До заслуг Піфагора належить відкриття та доведення теореми Піфагора.

Про теорему Піфагора. Теорема Піфагора — одна із найвизначніших теорем математики, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. З неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем. Вона застосовується в геометрії практично на кожному кроці. Відомо, що ця теорема не була відкрита Піфагором. Однак саме Піфагор першим дав її повноцінне доведення. На даний момент в науковій літературі зафіксовано кілька сотень доведень даної теореми.

Теорема Піфагора. Теорема: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Дано: ∆ABC, Довести: Доведення. Проведемо з вершини прямого кута С висоту СD. Додамо почленно ці рівності. Отримаємо: Отже,Доведено. ACBD

Якщо: BC=a,AC=b,AB=c. То теорема Піфагора може бути записана так: ACBbac

можна отримати наступні формули: Якщо a, b — катети прямокутного трикутника, а с — його гіпотенуза, то з формули baс. За цими формулами за двома будь-якими сторонами прямокутного трикутника знаходимо його третю сторону.

Теорема обернена до теореми Піфагора. Теорема: Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то цей трикутник прямокутний. За цією теоремою трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 5 см — прямокутний, оскільки 32 + 42 = 52. Такий трикутник називають єгипетським.Єгипетські трикутники — це такі прямокутні трикутники сторони яких пропорційні числам 3, 4 і 5.Єгипетські трикутники (a, b — катети, c — гіпотенуза)

Старовинні задачіЗадача індійського математика XII століття Бхаскари. На березі ріки росла самотня тополя. Раптом налетіли вітри і зламали її стовбур. Бідна тополя впала, утворивши кут міжстовбуром і поверхнею води річки. Запам’ятай тепер, що в цьому місці річка. У чотири лише фута була шириною. Верхівка зламалася, залишивши всьоготри фути від усього стовбура. Прошу тебе, швидко тепер мені скажи:«Яка за велика в тополі висота?»Розв’язання(футів)1 фут = 0,3048 м, тому AB=1,524 м.

Задача з підручника «Арифметики» Леонтія Магницкого (XVІII століття )Сталося деякій людині до стіни сходи приставити, стіни ж тієї висота була 117 стоп. І узяв він драбину завдовжки 125 стоп. І дізнатися він хоче, на скільки стоп, цю драбину нижнім кінцем від стіни відставити треба. Розв’язання(стопи)

Цікаво знати. Три додатніх цілих числа a, b і c, таких що a2 + b2 = c2 нази-ваються числами Піфагора (піфагоровою трійкою), найві-домішими з яких є 3, 4, 5. Встановлено, що теорема Піфагора зустрічається у вавилонських текстах, написаних за 1200 років до Піфагора. Про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутний, знали за 2000 років до н. е. єгиптяни, які користувалися цим відношенням при будівництві. У Китаї про квадрат гіпотенузи знали принаймні за 500 років до Піфагора. Ця теорема була відома й у Стародавній Індії; проце свідчать твердження, що містяться в сутрах Будхаяни. В 1940 році було надруковано книгу Е. Луміса «Теорема Піфагора», в якій є 370 різних способів доведення теореми Піфагора, серед яких є доведення, запропоноване президентом США Джеймсом Гарфілдом. Факт великої кількості доведень теореми відображено в художній літературі: в повісті «Пригоди Електроніка» Євгенія Велтистова головний герой на шкільному уроці математики приводить біля дошки 25 різних доведень теореми Піфагора.

1. Теорема синусів і теорема косинусів

Теорему Піфагора і тригонометричні функції гострого кута можна використовувати для обчислення елементів лише в прямокутному трикутнику.

Для знаходження елементів у довільному трикутнику використовується теорема синусів або теорема косинусів.

(під час розв’язання задачі одночасно пишуться дві частини, утворюючи пропорцію).

Оскільки один із кутів трикутника може бути тупим, значення синуса тупого кута знаходиться за формулою зведення:

sin120 ° = sin 180 ° − 60 ° = sin60 ° = 3 2 sin150 ° = sin 180 ° − 30 ° = sin30 ° = 1 2 sin135 ° = sin 180 ° − 45 ° = sin45 ° = 2 2

Для обчислення елементів прямокутного трикутника достатньо \(2\) дані величини (дві сторони або сторона і кут).

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

cos120 ° = cos 180 ° − 60 ° = − cos60 ° = − 1 2 cos150 ° = cos 180 ° − 30 ° = − cos30 ° = − 3 2 cos135 ° = cos 180 ° − 45 ° = − cos45 ° = − 2 2

Якщо необхідно знайти приблизне значення синуса або косинуса іншого кута або обчислити кут за знайденим синусом чи косинусом, використовується таблиця або калькулятор.