РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

• навчимося переходити від радіанної міри кута до градусної і навпаки; перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їх значення; будувати графіки тригонометричних функцій.

§ 17 СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС І КОТАНГЕНС КУТА

З курсу геометрії ви вже знаєте, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.

1. Кути довільної величини

Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 17.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу. Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОB. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 17.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 17.1).

Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 17.2 маємо кути повороту 120° і -170°.

Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 17.3). Якщо початковий радіус виконає повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 17.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад на малюнку 17.5 маємо кут повороту 440°.

Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 17.6).

Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 17.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° – 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k – будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.

Приклад 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус приймає те саме положення, що й при повороті на кут 90°.

Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1; -270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° – 90° + 360° ∙ 2; -660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.

Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 17.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ. тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад, а = 50° – кут першої чверті (мал. 17.1), а = 120° – кут другої чверті (мал. 17.2), а = 225° – кут третьої чверті (мал. 17.3), а = -50° – кут четвертої чверті (мал. 17.1).

Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; … не належать жодній чверті.

Приклад 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?

1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, отже, 1999° – кут III чверті.

2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), отже, -2010° – кут II чверті.

Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.

2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 17.9).

Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sinа = .

Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = .

Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tg a= , х ≠ 0.

Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctg a= , у ≠ 0.

Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.

Як відомо з курсу геометрії, значення виразів sin a, cos а і tg a, де 0° ≤ а ≤ 180°, залежать лише від градусної міри кута а і не залежать від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 17.10). Таке коло називають одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ переходить у радіус ОР_а, де точка Р_а має координати (х; у) (мал. 17.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Р_а одиничного кола. Тоді синусом кута а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;

косинусом кута а називають абсцису точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто cos а = х;

тангенсом кута а називають відношення ординати точки Р_а(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tg a = , х ≠ 0;

котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Р_а(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctg a = , у ≠ 0.

Означення тангенса можна сформулювати й так:тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Справді, оскільки у = sin a, а х = cos а, то

де cos а ≠ 0. Аналогічно:котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tg a має зміст, коли х 0, тобто коли а ±90°, ±270°,±450°, … , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctg а має зміст, коли у ≠0, тобто коли а ≠ 0°, ±180°, ±360°, … , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.

Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos а, tg a, ctg а. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. Їх називають тригонометричними функціями кута.

4. Тригонометричні значення деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.

На одиничному колі (мал. 17.11) позначимо точки Р_a для a = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:Р_0°(1; 0), тому sin 0° = 0; cos 0° = 1; tg0° = 0; ctg0° – не існує. Р_90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg 90° – не існує; ctg 90° = 0.

Р_180°(-1; 0), тому sin 180° = 0; соs 180° = -1; tg 180° = 0; ctg 180° – не існує.

Р_270°(0; -1), тому sin 270° = -1; соs 270° = 0; tg 270° – не існує; ctg 270° = 0.

Точка Р_360° має ті самі координати, що й точка Р_0°, тому sin 360° = sin 0° = 0; соs 360° = соs 0° = 1; tg 360° = tg 0° = 0; ctg 360° – не існує.

Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами

Кути а, зазначені у першому рядку цієї таблиці, ще називають табличними кутами. Маємо:

2) Запис sin 2 30° означає (sin 30°) 2 . Маємо:

Відповідь: 1) 1,5; 2) – ; 3) ; 4) -2.

5. Знаходження тригонометричних функцій за допомогою калькулятора

Для знаходження синуса, косинуса і тангенса в калькуляторах є відповідні клавіші

Спочатку перемикач «Г—Р» треба зафіксувати у положенні «Г» для задания кутів у градусах. У деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші

і вибору відповідного режиму. Залежно від типу калькулятора порядок обчислень може бути різним, тому радимо уважно ознайомитися з інструкцією до калькулятора. Наведемо порядок обчислень для двох найбільш поширених типів калькуляторів (с. 170).

В останніх рядках обох таблиць скористалися тим, що котангенс є числом, оберненим до тангенса. Справді,

Термін «тригонометрія» походить від грецьких слів «тригоном» – трикутник і «метріо» – вимірюю, що разом означає вимірювання трикутників.

Потреба у вимірюванні відстаней і кутів виникла ще у стародавні часи через необхідність визначення положення зірок на небі, кораблів у відкритому морі, караванів у пустелі тощо.

Деякі знання з тригонометрії накопичили і вчені Стародавнього Вавилону. Засновниками ж тригонометрії прийнято вважати давньогрецьких вчених Гіпарха (бл. 180 р. – бл. 125 р. до н. е.) і Птолемея (бл. 100 р. – бл. 178 р.). Зокрема, Гіпарх склав таблиці хорд – перші тригонометричні таблиці. Більш точні таблиці синусів склав Птолемей. Крім цих таблиць, його праця «Альмагест» містила також тогочасні відомості з астрономії та суміжних наук.

У Європі вперше тригонометрія як самостійна наука трактується у праці «П’ять книг про трикутник усіх видів» Йоганна Мюллера (1436-1476). Подальший розвиток тригонометрії відбувся завдяки Миколаю Копернику (1473-1543), Франсуа Вієту (1540-1603), Йоганну Кеплеру (1571-1630) і був пов’язаний з дослідженнями в астрономії.

Сучасного вигляду тригонометрія набула у працях Леопарда Ейлера (1707-1783), який уперше сформулював означення тригонометричних функцій, розглянув їх для довільних кутів та довів кілька тригонометричних формул.

Термін «синус» уперше з’явився у працях індійського вченого Аріабхатти (476-550). Термін «косинус» є скороченням латинського «complementy sinus», тобто додатковий синус.

«Сучасні позначення «sin x» і «cos x» уперше запропонував Йоганн Бернуллі в 1739 р. в листі до Леопарда Ейлера. Ейлер їх прийняв і систематизував.

Терміни «тангенс» і «котангенс» уведено арабським математиком Абу-н-Вефа (940-998). Він же склав перші таблиці тангенсів і котангенсів.

• Що називають початковим радіусом; кутом повороту?

• Який кут повороту вважають додатним, а який – від’ємним?

• Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а. о Яке коло називають одиничним?

• Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а, заданого на одиничному колі.

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

1. 17.1. Чому дорівнюють sin а і cos а, якщо куту а на одиничному колі відповідає точка

17.2. Чому дорівнюють sin β і соs β, якщо куту β на одиничному колі відповідає точка Р_β(0,8; 0,6)?

Накресліть коло із центром у початку координат і, використовуючи транспортир, позначте кут повороту, що дорівнює (17.5-17.6):

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Український математик, педагог, письменник. Мав значні наукові здобутки в галузі математики. Автор понад 60 наукових праць. Серед них підручники «Тригонометрія» (1921), «Чотирицифрові таблиці логарифмів і тригонометричних функцій» (1917, 1931). Значний внесок зробив у справу створення української математичної термінології та впорядкування української математичної бібліографії.

Одні кажуть, що всі наукові терміни треба вживати так, як вони прийнялися в інших європейських мовах; зате другі раді б конче кожне слово за всяку ціну перекласти на українське. Ми далекі від того, щоб підписатися під другою крайністю: …багато чужих слів здобуло собі в іншій мові право громадянства, й ми зовсім не маємо потреби їх викидати…

НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ

• Радіанне вимірювання кутів

• Тригонометричні функції числового аргументу

• Властивості та графіки тригонометричних функцій

• Встановлювати відповідність між дійсними числами і точками на одиничному колі

• Виконувати перехід від радіанної міри кута до градусної і навпаки

• Формулювати означення і властивості тригонометричних функцій

• Будувати графіки періодичних функцій та ілюструвати їхні властивості

• Перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їхні значення

Навчальний проект № 3. ПЕРІОДИЧНІ ПРОЦЕСИ У ТЕХНІЦІ ТА ПЕРІОДИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ У МИСТЕЦТВІ

§ 14 Синус, косинус, тангенс і котангенс кута

У житті ми часто стикаємося з процесами, які відбуваються з певною періодичністю. Скажімо, на зміну зимі приходить весна, на зміну весні — літо, на зміну літу — осінь, на зміну осені — зима, знову весна і все повторюється з року в рік. Так само змінюються ранок, день, вечір і ніч. Періодичні процеси відбуваються в багатьох механізмах (рух поршня, маятника) і живих організмах (пульсація серця, дихання).

Мати справу з процесами, які періодично повторюються, доводиться багатьом фахівцям. Моделювати такі процеси найзручніше за допомогою синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Їх разом називають тригонометричними функціями. Ця назва походить від назви давньої науки «тригонометрія». Раніше тригонометрію найчастіше використовували для розв’язування трикутників, а за їх допомогою — розв’язування багатьох геометричних і геодезичних задач. У XX ст. такі задачі навчилися розв’язувати іншими способами і засобами, навіть простішими і точнішими, тому тепер тригонометрія втратила попередню цінність і її не відносять до сучасних наук. Але поняття синус, косинус, тангенс і котангенс у різних науках продовжують відігравати важливу роль. Особливо, коли йдеться про різні обертальні рухи, періодичні процеси та явища.

Дещо про ці функції ви вже знаєте з уроків геометрії. Згадаймо, наприклад, теореми косинусів і синусів.

Повороти в напрямку руху годинникової стрілки домовилися вважати від’ємними, а в протилежному — додатними. Наприклад, повернути корбу на 720°, на -540° — це означає повернути її, як показано на малюнках 96 і 97.

Одному, двом, трьом, …, n обертам відповідають кути 360°, 720°, 1080°, …, 360° n.

Введемо поняття синуса, косинуса, тангенса і котангенса будь-якого кута. Зробимо це за допомогою одиничного кола.

Якщо центром кола є початок координат, а його радіус дорівнює 1, то таке коло називають одиничним колом.

Нехай на координатній площині дано одиничне коло і його початковий радіус ОР (мал. 98). Говорять, що точка А одиничного кола відповідає куту , якщо ∠ РОА = . Зображені на малюнку 99 точки Р, А, В, С, D, Е, F, Р відповідають кутам 0°, 60°, 90°, 135°, 180°, 270°, 300°, 360°.

Синусом кута а називають ординату точки одиничного кола, яка відповідає куту .

Косинусом кута а називають абсцису точки одиничного кола, яка відповідає куту .

Тангенсом кута а називають відношення синуса кута а до його косинуса.

Котангенсом кута а називають відношення косинуса кута а до його синуса.

Синус, косинус, тангенс і котангенс кута а позначають відповідно символами sin , cos , tg , ctg .

1. Куту 135° на одиничному колі відповідає точка С з абсцисою – і ординатою — (мал. 99).

Тому cos 135° = – , sin 135° = , tg 135° = -1, ctg 135° = -1.

2. Куту -90° на одиничному колі відповідає точка Е(0; -1). Томуcos(-90°) = 0, sin(-90°) = -1, ctg(-90°) = 0, tg(-90°) не існує.

Тангенс кута а має значення (тобто існує) тоді і тільки тоді, коли cos ≠ 0, адже ділити на 0 не можна. Котангенс кута а має значення тільки за умови, що sin ≠ 0.

Значення sin , cos , tg , ctg деяких кутів а наведено в таблиці на форзаці.

Наближені значення тригонометричних функцій будь-яких кутів можна знаходити за допомогою калькулятора або спеціальних таблиць (див. форзац 4).

Кожному значенню кута а відповідає єдине значення sinа. Значення sinа залежить від значення а. Тому sin — функція від а. Функціями від є також cos , tg , ctg . Усі ці чотири функції докладніше розглянемо далі, а тут звернемо увагу тільки на їх найважливіші властивості.

Нагадаємо, що sin — це ордината точки А одиничного кола, яка відповідає куту а (мал. 100).

Якщо АН — перпендикуляр, опущений з точки А на вісь х, то довжина відрізка АN — це синус кута , а ОН — косинус кута .

Якщо точка А розміщується у І або II координатній чверті, то її ордината — додатна. Ординати точок, які розміщуються у III або IV чверті — від’ємні. Говорять, що у І і II чвертях синус кута а додатний, а в III і IV — від’ємний.

Згадайте означення косинуса, тангенса і котангенса кута а і поясніть, які знаки мають ці функції в кожній із чотирьох чвертей.

На малюнку 101 показано знаки тригонометричних функцій кутів різних координатних чвертей.

Якщо кут а збільшується від 0° до 90°, то значення sin а збільшується від 0 до 1. Якщо а збільшується від 90° до 180°, то значення sin зменшується від 1 до 0. Якщо а збільшується від 180° до 270°, то значення sin зменшується від 0 до -1. Якщо а збільшується від 270° до 360°, то значення sin a збільшується від -1 до 0. Отже, для будь-якого значення :

Якщо кут продовжувати збільшувати, то всі ці властивості повторяться, тобто завжди: sin = sin( + 360°) = sin( – 360°) = sin( + 720°).

Взагалі, яким би не був кут і ціле число n, то:

Ці співвідношення дають можливість звести знаходження значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса будь-якого кута до знаходження їх значень для невід’ємного кута, меншого від 360°.

Наприклад, треба обчислити cos 1860°. Поділивши 1860 на 360, дістанемо частку 5 і остачу 60.

Отже, cos 1860° = cos (360° ∙ 5 + 60°) = cos 60° = 0,5.

На одиничному колі точки А і A₁, які відповідають кутам а і — , розміщені симетрично відносно осі х (мал. 102), а тому мають однакові абсциси і протилежні ординати.

Отже, яким би не був кут , правильні тотожності:

Користуючись ними, можна порівняно легко обчислювати значення тригонометричних функцій від’ємних кутів.

1. Що таке синус кута ? Чому він може дорівнювати?

2. Яких значень у виразі cos , tg , ctg може набувати а?

3. Сформулюйте означення косинуса кута.

4. За яких умов косинус кута є додатним? За яких — від’ємним?

5. Що таке тангенс кута? А котангенс?

6. При яких значеннях а його тангенс не існує? А котангенс?

7. Як змінюється синус (косинус) кута, якщо кут збільшується: а) від 0° до 90°; б) від 90° до 180°?

sin 60° – 2 sin 90° ∙ cos 60° + 0,5 tg 45°.

Розв’язання. Відповідні значення синуса і косинуса знаходимо в таблиці (форзац 2). Маємо:

2. Що більше: sin 20° чи соs 20°?

Розв’язання. Якщо ∠ МОН = 20°, то ∠ ОМН = 70° (мал. 103). Оскільки в трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, то ОН > МН. Отже, соs 20° > sіn 20°.

3. Знайдіть знак виразу Р = sin 130° соs 210° tg 380°.

Розв’язання. Куту 130° відповідає точка А одиничного кола, яка розміщується в II чверті (мал. 104), тому sin 130° > 0. Куту 210° відповідає точка В III чверті, тому соs 210° < 0. Куту 380°відповідає точка С, яка лежить у І чверті, тому tg 380° >0.

Добуток двох додатних чисел і від’ємного — число від’ємне. Тому Р < 0.

4. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу 2sin + 3.

Розв’язання. Оскільки – 1 ≤ sin ≤ 1, то -2 ≤ 2sin ≤ 2, тоді -2 + 3 ≤ 2sin + 3 ≤ 2 + З, тобто 1 ≤ 2sin + 3 ≤ 5. Отже, найменше значення виразу дорівнює 1, а його найбільше значення дорівнює 5.

5. Користуючись калькулятором, обчисліть ctg 42°13′.

Розв’язання. Обираємо градуси

Відповідь. Ctg 42°13′ ≈ 1,1022.

726. Дивлячись на прямокутний трикутник АВС (мал. 105), скажіть, чому дорівнюють синус, косинус, тангенс і котангенс кутів А, В і С.

727. Чи може абсциса або ордината точки одиничного кола дорівнювати 2?

728. Чи може синус або косинус кута дорівнювати 2? А -2?

729. може синус кута, меншого від 180°, бути числом від’ємним? А косинус?

730. Тангенс якого кута дорівнює 1? А -1?

731. Чому дорівнюють синус, косинус, тангенс і котангенс прямого кута? А кута 45°?

732. Якій чверті належить кут у 100°, 150°, 200°, 250°, 300°, 350°?

733. Знайдіть міру гострого кута х, якщо: а) sin х = 0,5; б) 2соs х = .

734. На скільки градусів повертається годинникова стрілка протягом півдоби? А хвилинна стрілка?

735. Накресліть одиничне коло і позначте на ньому точки, які відповідають кутам: 30°, 90°, 120°, 180°, 270°, 360°, -30°, -300°.

736. Куту на одиничному колі відповідає точка

Чому дорівнюють значення sin , cos , tg , ctg ?

737. Куту на одиничному колі відповідає точка з абсцисою 0,6. Чому дорівнюють значення sin , cos , tg , ctg ?

738. У якій чверті розміщується точка, яка відповідає куту:

739. У якій чверті розміщується точка, яка відповідає куту:

740. Який знак мають sin , cos , tg , ctg , якщо:

742. Визначте знак добутку:

743. Визначте знак добутку:

а) sin 120° ∙ cos 155° ∙ tg 85°;

б) sin 320° ∙ cos 55° ∙ ctg 85°;

в) ctg 124° ∙ cos 115° ∙ tg 35°;

г) ctg 125° ∙ cos 77° ∙ tg 305°.

744. Кутом якої чверті є кут , якщо:

745. Замість * поставте знаки >або

746. Як змінюється sin і cos , якщо aзбільшується від 0° до 360°? Заповніть порожні клітинки таблиці.

749. Обчисліть значення виразу:

а) sin 45° – cos 60° ∙ cos 90° + sin 60°;

б) sin 30° ∙ cos 30° – sin 2 45° ∙ tg 60°;

в) cos 30° ∙ sin 60° – tg 45° ∙ ctg 45° ∙ sin 30°;

г) tg 30° ∙ sin 60° + sin 30° ∙ tg 45° + sin 90°.

Знайдіть значення виразу (750-751).

б) sin β + sin 2β + sin Зβ, якщо β = 60°.

a) sin y + 2 cos y + 3 tg y, якщо у = 30°;

б) sin + cos( – β), якщо a = 90° і β = 30°.

752. Яке найбільше і найменше значення може мати вираз:

753. Установіть вид ∆ АВС, якщо:

754. Чому дорівнює синус, косинус, тангенс, котангенс кута правильного: а) трикутника, б) чотирикутника, в) шестикутника?

755. Обчисліть значення тригонометричних функцій за допомогою таблиці і перевірте результат, використовуючи калькулятор:

a) sin 12°; sin 33°; sin 72°; sin 50°;

б) cos 12°; cos 33°; cos 72°; cos 50°;

в) tg 12°; tg 33°; tg 72°; tg 50°;

г) ctg 12°; ctg 33°; ctg 72°; ctg 50°.

Користуючись калькулятором чи таблицями, обчисліть (756-758).

759. Чи може синус або косинус кута дорівнювати:

760. На малюнку 106 зображено промисловий вітрогенератор — пристрій для перетворення кінетичної енергії вітру на електричну.

1)Установіть, на який із поданих нижче кутів може повернутися лопать А вітрогенератора, щоб перейти на місце лопаті В:

а) історію вітряків та їх використання;

б)розвиток вітроенергетики в Україні;

в)«зелені» тарифи на електричну енергію.

761. Кутом якої чверті є кут , якщо:

Знайдіть знак виразу (763-764).

a) cos(-30°) sin 15° cos(-125°) tg 35°;

б) sin(-137°) cos(-150°) tg 22° cos 35°;

в) tg 143° sin(-165°) tg(-87°) cos(-126°);

г) cos(-32°) sin 132° cos 135° tg(-92°).

а) sin 30° cos 60° – cos 2 60° + sin 405° cos 90°;

б) (tg 390° tg 60° – tg 2 45° + 2cos 45° sin 45°) 2 ;

в) sin 420° cos 30° – cos 60° sin 30° – 2tg 30° ctg 765°;

г) (tg 30° ctg 30° + sin 45° sin 60° cos 450°) 6 – 3sin 90° tg 750°.

766. Знайдіть значення виразу:

767. Дано: = 45°, β = 15°. Знайдіть:

768. Розв’яжіть попередню задачу, якщо = 60°, β = 30°.

769. Перевірте, чи правильна рівність:

770. Знайдіть sin і cos , якщо tg = 1, ∈ [0°; 90°]; ∈ [180°; 270].

771. Знайдіть sin і tg , якщо cos = 0,5, ∈ [0°; 90°]; ∈ [270°; 360°].

772. Знайдіть, користуючись одиничним колом:sin 0°, sin 90°, cos 90°, sin 180°, cos 180°, sin 270°, cos 270°.

773. Практичне завдання. Накресліть на міліметровому папері чверть кола радіуса 10 см, поділіть його на 30 рівних частин і складіть таблицю наближених значень синуса і косинуса кутів 3°, 6°, …, 90°.

774. Яких значень при різних значеннях а може набувати вираз: sin 2 , 1 – sin 2 , sin2 , 2sin ?

775. Яких значень може набувати вираз: tg , tg 2 , tg2 , 2tg , 1 + tg ?

776. Куту а на одиничному колі відповідає точка

777. Куту β на одиничному колі відповідає точка

Укажіть три можливих значення кута β.

778. На одиничному колі зобразіть точки, для яких:

780. Який із гострих кутів більший: а чи β, якщо:

781. При яких значеннях с можлива рівність:

782. При яких значеннях m можлива рівність:

Знайдіть найменше і найбільше значення виразу (783—784).

785. Знайдіть область значень функції:

786. Знайдіть довжину кола і площу круга, радіус якого дорівнює:

787. Задача Сунь-Цзи. Знайдіть число, яке від ділення на 3 має в остачі 2, а від ділення на 5 — в остачі 3, нарешті, від ділення на 7 — в остачі 2.

788. Побудуйте графік функції:

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

– навчимося переходити від радіанної міри кута до градусної і навпаки; перетворювати тригонометричні вирази та обчислювати їх значення; будувати графіки тригонометричних функцій; розв’язувати тригонометричні рівняння.

§7. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС I КОТАНГЕНС КУТА

3 курсу геометрії нам уже відомо, що таке синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°. У цьому параграфі ознайомимося з поняттями синуса, косинуса і тангенса довільного кута, а також з поняттям котангенса кута.

1. Кути довільної величини

Розглянемо коло радіуса R із центром у початку координат (мал. 7.1). Позначимо на додатній півосі абсцис точку А, яка належить колу.

Радіус ОА будемо називати початковим радіусом.

Повернемо радіус ОА навколо точки О на 50° проти руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОВ. Кут АОВ, який при цьому утворився, називають кутом повороту. У нашому випадку кут повороту дорівнює 50°. Повернемо тепер початковий радіус ОА на кут 50° у напрямку руху годинникової стрілки, отримаємо радіус ОС. У цьому випадку кут повороту дорівнює -50°. На малюнку 7.1 стрілками вказано кути повороту 50° і -50° та напрям повороту. Узагалі,

при повороті початкового радіуса проти руху годинникової стрілки кут повороту вважають додатним, а за рухом годинникової стрілки — від’ємним (мал. 7.1).

Кут повороту може бути будь-яким числом. На малюнку 7.2 маємо кути повороту 120° і -170°.

Покажемо кут повороту 225°. Оскільки 225° = 180° + 45°, повернемо початковий радіус ОА в додатному напрямі на 180°, а потім у тому ж напрямі ще на 45° (мал. 7.3). Якщо початковим радіусом виконати повний оберт проти руху годинникової стрілки, то отримаємо кут повороту 360° (мал. 7.4). Початковий радіус можна повернути і більш ніж на повний оберт, наприклад, на малюнку 7.5 маємо кут повороту 440°.

Якщо початковий радіус повернути за рухом годинникової стрілки на 330°, тобто у від’ємному напрямі, отримаємо кут повороту -330° (мал. 7.6).

Нехай при повороті на 40° початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ (мал. 7.7). Якщо після цього радіус ОВ повернути на кут 360° або -360°, то знову отримаємо радіус ОВ. Із цього можна дійти висновку, що радіус ОА переходить у радіус ОВ як при повороті на кут 40° + 360° = 400°, так і при повороті на кут 40° – 360° = -320°, та й узагалі при повороті на кут 40° + 360°k, де k – будь-яке ціле число, тобто k ∈ Z.

Очевидно, що й будь-який кут а можна подати у вигляді а = а₀ + 360°k, де 0 ≤ а₀ ≤ 360°, k ∈ Z. Наприклад, 1100° = 20° + 360° ∙ 3, а -640° = 80° + 360° ∙ (-2).

Задача 1. Серед кутів повороту 460°, -270°, 810°, -660° знайти ті, при повороті на які початковий радіус прийме те саме положення, що й при повороті на кут 90°.

Розв’язання. Оскільки 460° = 100° + 360° ∙ 1;

-270° = 90° + 360° ∙ (-1); 810° = 90° + 360° ∙ 2;

-660° = 60° + 360° ∙ (-2), то такими є кути -270° і 810°.

Нагадаємо, що координатні осі ділять координатну площину на чотири чверті (мал. 7.8). Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, тоді кут а називають кутом тої чверті, у якій міститься радіус ОВ. Так, наприклад,

а = 50° – кут першої чверті (мал. 7.1),

а = 120° – кут другої чверті (мал. 7.2),

а = 225° – кут третьої чверті (мал. 7.3),

а = -50° – кут четвертої чверті (мал. 7.1).

Кути 0°; ±90°; ±180°; ±270°; ±360°; … не належать жодній чверті.

Задача 2. Кутом якої чверті є кут: 1) 1999°; 2) -2010°?

1) 1999° = 199° + 360° ∙ 5, тому 1999° – кут III чверті.

2) -2010° = 150° + 360° ∙ (-6), тому -2010° – кут II чверті.

Відповідь. 1) кут III чверті; 2) кут II чверті.

2. Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОА перейшов у радіус ОВ, причому точка В має координати (х; у) (мал. 7.9).

Синусом кута а називають відношення ординати точки В до довжини радіуса: sin а = .

Косинусом кута а називають відношення абсциси точки В до довжини радіуса: cos а = .

Тангенсом кута а називають відношення ординати точки В до її абсциси: tga = (якщо х ≠ 0).

Котангенсом кута а називають відношення абсциси точки В до її ординати: ctgа = (якщо у ≠ 0).

Зауважимо, що вказані означення не суперечать означенням синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°, раніше введеним у геометрії.

Як відомо з курсу геометрії, значення sin a, cos a і tg a, де 0° ≤ a ≤ 180°, залежить лише від градусної міри кута а і не залежить від довжини радіуса R. Тому зручно розглядати коло з радіусом R = 1 і центром у початку координат (мал. 7.10). Таке коло називають одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ переходить у радіус ОР_а, де точка Р_а має координати (х; у) (мал. 7.10). Кажуть, що куту а відповідає точка Р_а одиничного кола. Тоді

синусом кута а називають ординату точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто sin а = у;

косинусом кута а називають абсцису точки Р_а(х; у) одиничного кола, тобто cos а – х;

тангенсом кута а називають відношення ординати точки Р_а(х; у) одиничного кола до її абсциси, тобто tga = (якщо х ≠ 0);

котангенсом кута а називають відношення абсциси точки Р_а(х; у) одиничного кола до її ординати, тобто ctga = (якщо у ≠ 0).

Означення тангенса можна сформулювати й так:

тангенсом кута а називають відношення синуса цього кута до його косинуса.

Справді, оскільки у = sin a, a, х = cos а, то де cos а ≠ 0. Аналогічно:

котангенсом кута а називають відношення косинуса цього кута до його синуса.

Вирази sin а і cos а мають зміст для будь-якого значення а. Вираз tga має зміст, коли х ≠ 0, тобто коли а ≠ ±90°, ±270°, ±450°, … , оскільки для цих кутів абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю. Вираз ctga має зміст, коли у ≠ 0, тобто коли а Ф 0°, ±180°, ±360°, … , оскільки для цих кутів ордината відповідної точки одиничного кола дорівнює нулю.

Отже, кожному допустимому значенню кута а відповідає єдине значення sin a, cos a, tga, ctga. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута а. їх називають тригонометричними функціями кута.

4. Тригонометричні значення деяких кутів

Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів 0°, 90°, 180°, 270°, 360° за означенням.

На одиничному колі (мал. 7.11) позначимо точки Р_а для а = 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Матимемо:

Р_0°(1; 0), тому sin0° = 0; cos0° = 1; tg0° = 0; ctg0° – не існує.

Р_90°(0; 1), тому sin 90° = 1; cos 90° = 0; tg90° – не існує; ctg90° = 0.

Р_180°(-1; 0), тому sin180° = 0; cos 180° = -1; tg 180° = 0; ctg180° – не існує.

cos_270° = 0; tg270° – не існує; ctg270° = 0.

Точка Р₃₆₀° має такі самі координати, як і точка Р₀°, тому sin 360° = sin 0° = 0; cos 360° = cos0° = 1; tg360° = tg0° = 0;

Подамо отримані значення у вигляді таблиці, доповнивши її значеннями синуса, косинуса і тангенса гострих і тупих кутів, відомих нам з курсу геометрії. Невідомі значення тангенса і котангенса для цієї таблиці обчислимо відповідно за формулами

Кути а першого рядка цієї таблиці ще називають табличними кутами. Маємо:

Обчислити: ctg135° + sin 2 30°.

• Розв’язання. Кути 135° і 30° є табличними. Отже,

5. Знаходження тригонометричних значень за допомогою калькулятора

Для знаходження синуса, косинуса і тангенса в калькуляторах є відповідні клавіші (у деяких калькуляторах

Спочатку перемикач «Г—Р» треба

виставити в положення «Г» для задания кутів у градусах. У деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші і вибору відповідного режиму. Залежно від типу калькуляторів послідовність обчислень може бути різною, тому радимо уважно ознайомитися з інструкцією до вашого калькулятора. Наведемо порядок обчислень для двох найбільш поширених типів калькуляторів.

В останньому рядку обох таблиць скористалися тим, що котангенс є числом, оберненим до тангенса.

Термін тригонометрія походить від грецьких слів «тригоном» – трикутник і «метрів» – вимірюю, що разом означає вимірювання трикутників.

Потреба у вимірюванні відстаней і кутів виникла ще у стародавні часи через необхідність визначення положення зірок на небі, кораблів у відкритому морі, караванів у пустелі тощо.

Деякі знання з тригонометрії накопичили і вчені Стародавнього Вавилону. Засновниками ж тригонометрії прийнято вважати давньогрецьких вчених Гіпарха (бл. 180 р. – бл. 125 р. до н.е.) і Птолемея (бл. 100 р. – бл. 178 р.). Зокрема, Гіпарх склав таблиці хорд – перші тригонометричні таблиці. Більш точні таблиці синусів склав Птолемей. Крім цих таблиць, його праця «Альмагест» містила також тогочасні відомості з астрономії та суміжних наук.

У Європі вперше тригонометрія як самостійна наука трактується у праці «П’ять книг про трикутник усіх видів» Йоганна Мюллера (1436-1476). Подальший розвиток тригонометрії відбувся завдяки Миколаю Копернику (1473-1543), Франсуа Вієту (1540-1603), Йоганну Кеплеру (1571-1630) і був пов’язаний з дослідженнями в астрономії. Сучасного вигляду тригонометрія набула у працях Леонарда Ейлера (1707- 1783), який уперше сформулював означення тригонометричних функцій, розглянув їх для довільних кутів та довів кілька тригонометричних формул.

Термін «синус» уперше з’явився у працях індійського вченого Аріабхатти (476-550). Термін «косинус» є скороченням латинського «complementy sinus», тобто додатковий синус.

Сучасні позначення «sinx» і «cosx» уперше запропонував Йоганн Бернуллі в 1 739 р. в листі до Ейлера. Ейлер їх прийняв і систематизував.

Терміни «тангенс» і «котангенс» уведено арабським математиком Абу-н-Вефа (940-998). Він же склав перші таблиці тангенсів і котангенсів.

Що називають початковим радіусом; кутом повороту? Який кут повороту вважають додатним, а який – від’ємним? Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута a. Яке коло називають одиничним? Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута а, заданого на одиничному колі.

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

7.1. (Усно.) Куту а на одиничному колі відповідає точка Назвіть значення sin а і cos а.

7.2. Куту β на одиничному колі відповідає точка Рβ (0,8; 0,6). Запишіть значення sinβ і cosβ.

7.3. 1) sin45°; 2) cos90°; 3) tg30°; 4) ctg135°;

5) cos 120°; 6) sin 180°; 7) ctg60°; 8) tg0°.

7.4. 1) sin120°; 2) cos30°; 3) tg45°; 4) ctg90°;

5) cos270°; 6) sin0°; 7) ctg120°; 8) tg60°.

Накресліть коло із центром у початку координат і позначте на ньому, використовуючи транспортир, кут повороту (7.5-7.6):

7.7. 1) а = 420°; 2) а = 765°; 3) а = -320°; 4) а = -1060°.

7.8. 1) а = 730°; 2) а = 395°; 3) а = -710°; 4) а = -770°.

Кутом якої чверті є кут градусної міри (7.9—7.10):

7.9. 1) 190°; 2) -190°; 3) 105°; 4) -105°;

7.10. 1) 95°; 2) -95°; 3) 210°; 4) -210°;

7.11. Відомо, що Знайдіть tgy і ctgy.

7.12. Відомо, що Знайдіть tg β і ctgβ.

Знайдіть на калькуляторі (округліть до тисячних) (7.13—7.14):

7.13. 1) sin(-15°); 2) cos127°; 3) tg1000°; 4) ctg(-37°).

7.14. 1) sin 190°; 2) cos(-100°); 3) tg(-29°); 4) ctg1200°.

7.15. 1) cos90° + sin0°; 2) 3cos180° ∙ sin90°;

3) 2tg180° – 4ctg90°; 4) ctg270° – cos 270° + sin270°.

7.16. 1) 5sin360° + cos360°; 2) tg0° + sinl80° – cos0°.

Знайдіть значення виразу (7.17—7.18):

7.19. Серед кутів повороту 520°; 440°; -310°; 220°; 770°; -560° знайдіть ті, у яких початковий радіус прийматиме те саме положення, що й при повороті на кут:

7.20. У проміжку від 0° до 360° знайдіть кут β такий, щоб поворот початкового радіуса на цей кут збігався з поворотом на кут а, якщо:

1) а = 480°; 2) а = -70°; 3) а = 1150°; 4) а = -670°.

Знайдіть на калькуляторі (округліть до сотих) (7.21—7.22):

7.21. 1) sin 12°37′ + cos15°13′; 2) tgl05°12′ + ctg 185°38;

7.22. 1) cos113°24′ + tg17°36′; 2) sinl90°15′ + ctg12°30′.

7.23. Укажіть кут а з проміжку [360°; 720°], для якого:

1) sina = 1; 2) cosa = 0; 3) sina = 0; 4) cosa = -1.

7.24. Укажіть кут β з проміжку [-360°; 0°], для якого:

7.25. Укажіть три таких значення х, для яких:

7.26. Укажіть два таких значення а, для яких:

7.27. 1) sin 2 45° + cos 2 60°; 2) sin 30° cos 180° tg 45°;

4) (2ctg 270° – 2cos 60° + sin 2 60 0 )- 1.

7.28. 1) sin 2 120° – cos 2 0°; 2) cos 45° sin 135° ctg 45°;

4) (2 cos 2 0° – ctg 135° – 10 cos 2 60°)-1.

7.29. Знайдіть значення виразу sin 3a + sin 2a, якщо:

1) a = 15°; 2) a = 30°; 3) a = 60°; 4) a = 90°.

7.30. Знайдіть значення виразу cos a + cos 2a – cos 3a, якщо:

7.33. Знайдіть координати точок Р_-а і Р_а+180° на одиничному колі, якщо Р_а(а; b).

7.34. Для табору пластунів треба придбати цукор з розрахунку 50 г цукру на добу (на одну особу). У таборі 4 курені на 28 місць кожен. Скільки кілограмових упаковок цукру знадобиться на 5 діб для всього табору?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

7.35. Радіус кола дорівнює 1 дм. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту:

9) 210°; 10) 235°; 11) 240°; 12) 270°.