Зміст:
✅Довести основну тригонометричну тотожність
Це означає, що в прямокутному трикутнику сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж гострого кута дорівнює одиниці.
Доведемо це тригонометричну тотожність. Нехай дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90º). Проведемо в ньому висоту CH до гіпотенузи.
Косинуси кутів
Висловимо катети трикутника ABC по косинусах кутів. Оскільки cos A = AC / AB, то
Тепер розглянемо трикутник ACH. Він прямокутний, т. К. CH ⊥ AB. АС в цьому трикутнику є гіпотенузою. Тоді cos A = AH / AC. Висловимо звідси відрізок AH:
Підставами замість відрізка AC його значення, виражене раніше через косинус кута A трикутника ABC. Отримаємо:
AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos2 A
Тепер розглянемо трикутник BCH. У ньому cos B = BH / BC. Висловимо BH і замінимо BC його значенням, знайденим в трикутнику ABC:
Відрізок AB є сумою відрізків AH і BH:
Замінимо AH і BH на їх вираження через косинуси кутів:
Як відомо, синус одного гострого кута прямокутного трикутника дорівнює косинусу іншого гострого кута цього ж трикутника. В даному випадку:
Отже, в тотожності cos2 A + cos2 B = 1 ми можемо косинус кута B замінити на синус кута A. Таким чином отримаємо:
- cos2 A + cos2 B = 1
- cos2 A + (cos B · cos B) = 1
- cos2 A + (sin A · sin A) = 1
- cos2 A + sin2 A = 1
Таким чином, сума квадрата косинуса кута і квадрата синуса цього кута дорівнює одиниці, що потрібно було довести.
Таблиця з поясненнями «Тригонометрична тотожність»
| Характеристика | Опис |
|---|---|
| Означення | Основна тригонометрична тотожність виражає взаємозв’язок між синусом та косинусом кута. |
| Основна формула | sin²θ + cos²θ = 1, де θ – будь-який кут. |
| Геометричне тлумачення | На одиничному колі, сума квадратів координат будь-якої точки (яка представляє кут) завжди дорівнює 1. |
| Цікавий факт | Ця тотожність залишається істинною для будь-яких значень θ, включаючи від’ємні кути та кути, більші за 360°. |
| Приклад | Для θ = 45°, sin 45° ≈ 0.707, cos 45° ≈ 0.707. Тому, sin²45° + cos²45° ≈ 0.707² + 0.707² = 1. |
Висновок
Ця таблиця демонструє основну тригонометричну тотожність та її важливість в тригонометрії. Основна тотожність (sin²θ + cos²θ = 1) є фундаментальною і має застосування в різних областях математики, фізики та інженерії. Вона ілюструє глибокий зв’язок між синусом та косинусом кута та є ключовою для розуміння властивостей тригонометричних функцій.
✅Довести основну тригонометричну тотожність
Це означає, що в прямокутному трикутнику сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж гострого кута дорівнює одиниці.
Доведемо це тригонометричну тотожність. Нехай дано прямокутний трикутник ABC (∠C = 90º). Проведемо в ньому висоту CH до гіпотенузи.
Косинуси кутів
Висловимо катети трикутника ABC по косинусах кутів. Оскільки cos A = AC / AB, то
Тепер розглянемо трикутник ACH. Він прямокутний, т. К. CH ⊥ AB. АС в цьому трикутнику є гіпотенузою. Тоді cos A = AH / AC. Висловимо звідси відрізок AH:
Підставами замість відрізка AC його значення, виражене раніше через косинус кута A трикутника ABC. Отримаємо:
AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos2 A
Тепер розглянемо трикутник BCH. У ньому cos B = BH / BC. Висловимо BH і замінимо BC його значенням, знайденим в трикутнику ABC:
Відрізок AB є сумою відрізків AH і BH:
Замінимо AH і BH на їх вираження через косинуси кутів:
Як відомо, синус одного гострого кута прямокутного трикутника дорівнює косинусу іншого гострого кута цього ж трикутника. В даному випадку:
Отже, в тотожності cos2 A + cos2 B = 1 ми можемо косинус кута B замінити на синус кута A. Таким чином отримаємо:
- cos2 A + cos2 B = 1
- cos2 A + (cos B · cos B) = 1
- cos2 A + (sin A · sin A) = 1
- cos2 A + sin2 A = 1
Таким чином, сума квадрата косинуса кута і квадрата синуса цього кута дорівнює одиниці, що потрібно було довести.
Таблиця з поясненнями «Тригонометрична тотожність»
| Характеристика | Опис |
|---|---|
| Означення | Основна тригонометрична тотожність виражає взаємозв’язок між синусом та косинусом кута. |
| Основна формула | sin²θ + cos²θ = 1, де θ – будь-який кут. |
| Геометричне тлумачення | На одиничному колі, сума квадратів координат будь-якої точки (яка представляє кут) завжди дорівнює 1. |
| Цікавий факт | Ця тотожність залишається істинною для будь-яких значень θ, включаючи від’ємні кути та кути, більші за 360°. |
| Приклад | Для θ = 45°, sin 45° ≈ 0.707, cos 45° ≈ 0.707. Тому, sin²45° + cos²45° ≈ 0.707² + 0.707² = 1. |
Висновок
Ця таблиця демонструє основну тригонометричну тотожність та її важливість в тригонометрії. Основна тотожність (sin²θ + cos²θ = 1) є фундаментальною і має застосування в різних областях математики, фізики та інженерії. Вона ілюструє глибокий зв’язок між синусом та косинусом кута та є ключовою для розуміння властивостей тригонометричних функцій.